Kezdőlap


Feladat:	1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1958/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feladat feltételei szerint $a$ , $b$ és $c$ ugyan ismeretlenek, de fennállnak köztük bizonyos (ismertnek feltételezett) $m$ és $n$ értékkel az

\begin{matrix} a = \frac{b + c}{m}, b = \frac{c + a}{n} \end{matrix}

összefüggések, és meg kell határozni az

a + b

arányát

c

-hez. E célból kíséreljük meg

a

-t és

b

-t kifejezni

c

-vel. Az egyenleteket így írhatjuk:

\begin{matrix} m a - b = c, - a + n b = c . \end{matrix}

(1)

Innen

b

-t, illetőleg

a

-t kiküszöbölhetjük, ha az első egyenlet

n

-szeresét a másodikhoz adjuk, illetőleg az első egyenletet a második

m

-szereséhez adjuk:

\begin{matrix} (m n - 1) a = (n + 1) c, (m n - 1) b = (m + 1) c \end{matrix}

(2)

e kettő összegéből, ha

m n \neq 1

, a keresett arány

\begin{matrix} \frac{a + b}{c} = \frac{m + n + 2}{m n - 1} . \end{matrix}

m n = 1

, de

m

és

n

közül valamelyik nem

- 1

, akkor a (2) egyenletekből következik, hogy

c = 0

, s így ez esetben a kérdésnek nincs értelme.
Ha végül

m = n = - 1

, akkor mindkét (1) alatti egyenlet az

\begin{matrix} a + b + c = 0 \end{matrix}

egyenletbe megy át, és innen, ha

c \neq 0

\begin{matrix} \frac{a + b}{c} = - 1 \end{matrix}

adódik.

Megjegyzés. A feladat megoldását az tette lehetővé, hogy az

a

b

c

ismeretlenekre csak két elsőfokú egyenlet áll fenn, és ezekben nem fordul elő az ismeretlent nem tartalmazó tag. ‐ Az ilyen egyenleteket homogén elsőfokú egyenleteknek szokás nevezni. ‐ Egy ilyen egyenletekből álló egyenletrendszernek mindig megoldása a csupa 0-ból álló értékrendszer. Ha van ettől különböző megoldás (és esetünkben van, mert kevesebb az egyenlet, mint az ismeretlenek száma), akkor az egyenletrendszer legfeljebb valamelyik ismeretlennek a többihez való arányait határozza meg (ezt sem föltétlenül egyértelműen). Esetünkben pl. lényegében az

\frac{a}{c}

és

\frac{b}{c}

arányokat határoztuk meg.

II. megoldás: Jelöljük a keresett arányt

x

-szel, akkor

m

n

és

x

között keresünk egy (

a

-tól,

b

-től és

c

-től független) összefüggést. Ha ez sikerül, abból

x

-et már kifejezhetjük. Az

m

n

és

x

-re fennáll

\begin{matrix} m = \frac{b + c}{a}, n = \frac{c + a}{b}, x = \frac{a + b}{c} . \end{matrix}

(1)

Az egyenletek szimmetriáját

a

b

és

c

-ben még világosabbá tehetjük, ha mindegyik egyenlőséghez hozzáadunk 1-et:

\begin{matrix} m + 1 = \frac{a + b + c}{a}, n + 1 = \frac{a + b + c}{b}, x + 1 = \frac{a + b + c}{c} . \end{matrix}

Innen, ha

m

n

és

x

egyike sem

- 1

, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{m + 1} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1, \end{matrix}

amiből

x

-re az

\begin{matrix} x = \frac{m + n + 2}{m n - 1} \end{matrix}

érték adódik, ha

m n \neq 1

.
Ha

m n = 1

, akkor az (1) alatti első két egyenlet szorzatából

\begin{matrix} 1 = \frac{a b + c (a + b) + c^{2}}{a b} = 1 + \frac{c (a + b + c)}{a b} \end{matrix}

Innen, mivel feltettük, hogy

a

b

c

egyike sem 0, következik, hogy

\begin{matrix} a + b + c = 0, \end{matrix}

(2)

s így

\begin{matrix} m = n = x = - 1. \end{matrix}

Ugyancsak a (2) egyenlethez jutunk, ha

m

n

és

x

közül csak egyről tesszük fel, hogy értéke

- 1