Feladat: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1958/október, 40 - 41. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Pont körüli forgatás, Középponti és kerületi szögek, Thalesz-kör, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az 1. ábra mutatja.

 
 
1. ábra
 

Thales tétele miatt az AEC∢ ‐ és ezért mellékszöge, a CEB∢ is ‐ derékszög. A DE és DC szakaszok egyenlőek, mert D-ből a körhöz húzott érintőszakaszok; ezért az EDC háromszög egyenlő szárú, vagyis az EC alapon fekvő két (egy ívvel jelzett) szöge egyenlő. Ebből következik, hogy az EDB háromszög két (két ívvel jelzett) szöge egyenlő, mert mindegyik az előbbi két szög egyikét 90∘-ra egészíti ki. Mivel egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak vannak egy háromszögben, az EDB háromszög egyenlő szárú.
 

II. megoldás: Forgassuk el az AEC derékszögű háromszöget az E csúcs körül 90∘-kal úgy, hogy az EC oldala az EB egyenesre kerüljön (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A háromszög EA oldala így EC-re kerül, a félkör O középpontjából kiinduló OE sugár pedig a rá merőleges ED érintőre. Így kapjuk az A'EC' háromszöget. Mivel BC merőleges az AC befogóra, az ennek 90∘-os elforgatásával keletkező A'C'-vel párhuzamos lesz. Az EO'C' háromszög két oldala a félkör sugarával egyenlő, s így E-nél és C'-nél levő két szöge egyenlő. De CB és A'C' párhuzamossága miatt ugyanekkora az EBD szög is. Az EBD háromszög E-nél és B-nél levő szögei tehát egyenlő nagyságúak, s így két oldala: ED és BD valóban egyenlő egymással.
 

III. megoldás: A DEB és DBE szögek egyenlőségét másképpen is beláthatjuk.
A DEB∢ csúcsszöge (az AE húr és az E-ben húzott érintő szöge) a kör AE ívén nyugvó kerületi szög (1. ábra). A DBE szöggel egyenlő ACE szög (merőleges szárú hegyesszögek) szintén az AE íven nyugvó kerületi szög. Így az ezzel a két szöggel egyenlő DEB és DBE szögek is egyenlők egymással.