Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/november, 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Nevezetes azonosságok, Prímszámok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két szomszédos páratlan szám $2 k - 1$ és $2 k + 1$ , ekkor

\begin{matrix} {(2 k - 1)}^{2} + {(2 k + 1)}^{2} = \frac{n (n + 1)}{2} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 16 k^{2} + 4 = n (n + 1) . \end{matrix}

Ezt

4

-gyel szorozva, és

1

-et hozzáadva

\begin{matrix} 64 k^{2} + 17 = {(2 n + 1)}^{2} \end{matrix}

(2 n + 1)

-et

m

-mel jelölve, innen

\begin{matrix} m^{2} - 64 k^{2} = (m + 8 k) (m - 8 k) = 17. \end{matrix}

Itt feltétel szerint

m

pozitív, tehát a bal oldal első tényezője is az, s így a másodiknak is annak kell lennie, és kisebbnek az első tényezőnél. Mivel

17

prímszám, az egyetlen lehetséges felbontás

\begin{matrix} m + 8 k = 17, m - 8 k = 1, és így 16 k = 17 - 1 = 16. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} k = 1, m = 2 n + 1 = 9, azaz n = 4. \end{matrix}

Valóban

\begin{matrix} 1^{2} + 3^{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} . \end{matrix}