Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/október, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az $A B$ távolságot $a$ -val. Egy egyenletes sebességgel haladó vonat annyi óra alatt teszi meg ezt az utat, ahányszor az óránként megtett kilométerek száma megvan $a$ -ban. Ha a vonat tényleges sebességét $v$ -vel jelöljük (és a perceket átszámítjuk hatvanad órákká), akkor a feladat feltételei így írhatók:

\begin{matrix} \frac{a}{v - 5} - \frac{a}{v} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}, \frac{a}{v} - \frac{a}{v + 5} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

(1)

Elosztva az egyenleteket

a

-val (ami nem lehet 0), és összevonva

\begin{matrix} \frac{5}{v (v - 5)} = \frac{5}{12 a}, \frac{5}{v (v + 5)} = \frac{1}{3 a} = \frac{4}{12 a} . \end{matrix}

Az első egyenletet 4-gyel, a másodikat 5-tel szorozva a jobb oldalak egyenlők lesznek, tehát a bal oldalak is, és így azok reciprok értékei is:

\begin{matrix} \frac{1}{20} v (v - 5) = \frac{1}{25} v (v + 5) . \end{matrix}

Az egyenletet 100-zal szorozva, 0-ra redukálva, és

v

-t kiemelve kapjuk, hogy

\begin{matrix} v [5 (v - 5) - 4 (v + 5)] = v (v - 45) = 0. \end{matrix}

Miután a vonat eredetileg nem állt egy helyben, s így

v = 0

nem megoldása a feladatnak, azért csak egy megoldás lehetséges:

\begin{matrix} v = 45 km/óra . \end{matrix}

Ennek ismeretében bármelyik (1) alatti egyenletből a megtett távolságra ugyanaz az érték adódik:

\begin{matrix} a = 150 km . \end{matrix}

Így a kapott értékek valóban megoldását adják a feladatnak.
A fenti, meglehetősen gépies számítás egy látszólag másodfokú egyenletre vezetett, amelyet azonban egyszerűen meg lehetett oldani. Ha viszont formulák felírása előtt végiggondoljuk a feladat viszonyait, egyszerűbb egyenletet nyerhetünk.
Lényegében ezt a megoldást adta Békési József (Nagykanizsa, Irányi D. g.).

II. megoldás: Képzeljük el, hogy három vonat indul el egyszerre

A

-ból

B

felé három egymás melletti sínpáron. Az egyik a tényleg közlekedő vonat

v

sebességével, a másik

v - 5

, a harmadik pedig

v + 5

sebességgel, és ez a harmadik vonat

B

-n megállás nélkül áthaladva tovább folytatja útját. Mivel a második vonat ugyanannyival kevesebb utat tesz meg óránként az elsőnél, amennyivel többet tesz meg a harmadik, és a vonatok egyenletes sebességgel haladnak, azért az első vonat minden időpontban egyenlő távol van a másik két vonattól.
Mikor az első vonat

B

-be ér, a harmadik már 20 perce, vagyis

\frac{1}{3}

órája elhagyta

B

-t, és így onnan már

\frac{1}{3} (v + 5)

távolságban van. A második vonatnak 25 percnyi, vagyis

\frac{25}{60} = \frac{5}{12}

órányi útja van hátra, tehát

\frac{5}{12} (v - 5)

km-t kell még megtennie. Mivel az első vonat egyenlő távol van mindig a másik kettőtől, azért

\begin{matrix} \frac{1}{3} (v + 5) = \frac{5}{12} (v - 5) . \end{matrix}

Innen átrendezve

\begin{matrix} v = 45 km/óra \end{matrix}

adódik.