Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képezzük a két oldal különbségét:

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + {(a - b)}^{3}} - \frac{a + b}{a + (a - b)} = \\ = \frac{(a^{3} + b^{3}) (2 a - b) - (a + b) (2 a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3})}{[a^{3} + {(a - b)}^{3}] (2 a - b)} = \\ = \frac{2 a^{4} - a^{3} b + 2 a b^{3} - b^{4} - (2 a^{4} - a^{3} b + 2 a b^{3} - b^{4})}{[a^{3} + {(a - b)}^{3}] (2 a - b)} . \end{matrix}

A számláló azonosan 0, s így a tört értéke 0 mindenütt, ahol értelme van, tehát ahol a nevező nem 0. Ezzel a feladat állítását bizonyítottuk.

Megjegyzés: Ki kellett zárni azokat a helyeket, ahol a nevező 0, noha lehet, hogy az ilyen helyeken a két tört közül valamelyiknek értelme van. Általában helyesnek fogadunk el egy azonosságot, ha a két oldalán álló kifejezések értéke mindenütt megegyezik, ahol mindkét oldalnak értelme van.

II. megoldás: A bal oldalt a következőképpen alakíthatjuk át:

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + {(a - b)}^{3}} = \\ = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{[a + (a - b)] {[a^{2} - a (a - b) + (a - b)]}^{2}} = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{[a + (a - b)] (a^{2} - a b + b^{2})} . \end{matrix}

A számláló és nevező közös tényezőjével, ahol annak értéke nem 0, egyszerűsíthetünk, és így éppen az azonosság jobb oldalát kapjuk.