Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/október, 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Felhasználva, hogy

\begin{matrix} 1 + u^{2} \geq 2 u, mert 1 + u^{2} - 2 u = {(1 - u)}^{2} \geq 0, \end{matrix}

az egyenlőtlenség bal oldala így alakítható át:

\begin{matrix} 1 + a^{2} + b^{2} = (1 + a^{2}) (1 + b^{2}) - a^{2} b^{2} \geq 2 a \cdot 2 b - a^{2} b^{2} = \\ = 3 a b + a b (1 - a b) > 3 a b, \end{matrix}

mivel a feladat feltételei mellett

a b

pozitív és 1-nél kisebb. Ezzel bebizonyítottuk a feladat állítását.

II. megoldás: Képezzük a két oldal különbségét:

\begin{matrix} 1 + a^{2} + b^{2} - 3 a b = {(a - b)}^{2} + (1 - a b) . \end{matrix}

a b < 1

, akkor a jobb oldal nyilván pozitív, vagyis

\begin{matrix} 1 + a^{2} + b^{2} > 3 a b . \end{matrix}

Megjegyzés: Mint a II. megoldás mutatja,

a

-ról és

b

-ről elegendő a feladat követelményei helyett csak annyit tenni fel, hogy szorzatuk 1-nél kisebb. Az I. megoldásban kihasználtuk e szorzat pozitivitását is, holott negatív szorzat esetén világos az állítás helyessége. Azért érthető ez mégis, mert ott már az átalakítás közben egyenlőtlenségeket alkalmaztunk, s az így ,,rontott'' értéket már kissé nehezebb volt becsülni.