Feladat: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1956/november, 79. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha meghosszabbítjuk egy téglalap függőleges oldalait, kapunk a sakktáblán egy függőleges sávot. Hasonlóan a vízszintes oldalak egy vízszintes sávot határoznak meg. Fordítva, ha megadunk egy sakktáblamezőket elválasztó egyenesek határolta függőleges sávot és egy vízszinteset a sakktáblán, ezek egyértelműen meghatároznak egy téglalapot (7. ábra).

 
 
7. ábra
 

Így az összes téglalapok száma a függőleges és a vízszintes sávok számának szorzata.
Világos, hogy ugyanannyi a függőleges és a vízszintes sávok száma, tehát elegendő pl. az előbbieket összeszámolni. A sakktábla mezőit 9 függőleges egyenes határolja.
Ezek közül 9-féleképpen választhatjuk ki az első határvonalat, és 8-féleképpen a maradék közül a másodikat. Így azonban minden sávot kétszer, kapunk meg, tehát a függőleges sávok száma
9⋅82=36.
Ugyanannyi a vízszintes sávok száma is, tehát az összes téglalapok száma
362=1296.

Ezek között annyi négyzet van, ahányféleképpen ugyanolyan szélességű függőleges és vízszintes sávot párosíthatunk.
Egy h szélességű függőleges sáv baloldali határa nem lehet az utolsó h függőleges egyenes egyike sem, tehát a h szélességű sávok száma 9-h, ennyi a vízszinteseké is, s így (9-h)2 olyan négyzet van, amely h mező szélességű. Tehát a négyzetek száma (h=1,2,...,8) 82+72+62+52+42+32+22+12=204.