Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/november, 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négy számot $x$ , $y$ , $z$ , $u$ -val jelölve feltétel szerint

\begin{matrix} x + y + z + u = 36 & (1) \\ x + n = y - n = z \cdot n = \frac{u}{n} . & (2) \end{matrix}

Célszerű (2)-ből azzal a két ismeretlennel fejezni ki a többit, amelyikkel ez csupán összeadás, kivonás, és szorzás segítségével sikerül; ez a

z

és

n

lesz, melyek szorzata szerepel (2)-ben:

\begin{matrix} x = z n - n, y = z n + n, u = z n^{2}, \end{matrix}

és (1) bal oldalába beírva e kifejezéseket, a

\begin{matrix} 2 z n + z + z n^{2} = z {(n + 1)}^{2} = 36 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Innen

{(n + 1)}^{2}

csak

1

4

9

vagy

36

lehet. Az ismeretlenek lehetséges értékeit az alábbi táblázatban tüntettük fel (tekintetbe véve, hogy az

n = 0

értéket ki kell zárnunk).

\begin{matrix} \begin{matrix} {(n + 1)}^{2} & 1 & 4 & 9 & 36 \\ n ... & - 2 & 1 & - 3 & 2 & - 4 & 5 & - 7 \\ z ... & 36 & 9 & 9 & 4 & 4 & 1 & 1 \\ x ... & - 70 & 8 & - 24 & 6 & - 12 & 0 & 0 \\ y ... & - 74 & 10 & - 30 & 10 & - 20 & 10 & - 14 \\ u ... & 144 & 9 & 81 & 16 & 64 & 25 & 49 \end{matrix} \end{matrix}

Megjegyzés. Ha más két ismeretlennel fejezzük ki a többit, akkor is egész hasonlóan történhet a megoldás, csak nehezebbé válhat a szorzattá alakítás lehetőségének megtalálása. Emellett külön kell diszkutálni nevezőbe kerülő kifejezések eltűnésének az esetét is.