Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/október, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az egész utat a nő 192 perc alatt tette meg, a férfi 160 perc alatt. Mivel mindketten egyenletesen haladnak, azért ugyanakkora út megtételéhez a nőnek és férfinak szükséges idők aránya mindig

\begin{matrix} \frac{192}{160} = \frac{6}{5} . \end{matrix}

Jelöljük a híd végigjárásához a férfinek szükséges időt ‐ percekben ‐

t

-vel, ekkora nő a feltétel szerint

t + 1

perc alatt jut át a hídon, és így

\begin{matrix} \frac{t + 1}{t} = 1 + \frac{1}{t} = \frac{6}{5}, t = 5 perc . \end{matrix}

A híd hosszát távolságegységnek választva, az egész út hossza (a férfi menetidejéből számítva)

\begin{matrix} 160 : 5 = 32 hídhossz . \end{matrix}

A híd eléréséig a nő és a férfi együtt 31 hídhossznyi utat tett meg. Ha a nő útja ebből

x

hídhossz volt, akkor, mivel a nő egy hídhosszat 6 perc alatt tesz meg, azért

6 x

idő alatt ért a hídhoz. A férfi 78 perccel korábban indult el, mint a nő, és (

31 - x

) 5 percig ment, míg a hídhoz ért. Mivel egyszerre értek a hídhoz, azért

\begin{matrix} 6 x = (31 - x) 5 - 78, \\ x = 7. \end{matrix}

Eszerint a nő (és ugyanakkor a férfi is) a nő elindulásától számított

6 x = 42

perc múlva ér a hídhoz, vagyis mindketten 11 óra 13 perckor érik el a hidat.
A híd

A

felőli hídfője 7 hídhossznyira van

A

-tól és így a másik hídfő 24 hídhossznyira

B

-től.

II. megoldás: A férfi 160 perc alatt teszi meg az egész utat és 78 perce gyalogol, mikor a nő elindul, tehát megtette már az út

\begin{matrix} \frac{78}{160} = \frac{39}{80} \end{matrix}

részét, együtt tehát még az út

\frac{41}{80}

részét teszik meg a találkozásig.
Mivel egyenletesen haladnak, mindketten, így sehességeik aránya

\begin{matrix} \frac{192}{160} = \frac{6}{5}, \end{matrix}

másszóval, ami utat a férfi 5 perc alatt tesz meg, azt a nő 6 perc alatt. Ebből mindjárt az is következik, hogy a hídon is 5, illetőleg 6 perc alatt haladnak át. A fenti arányt úgy is értelmezhetjük, hogy az ugyanazon idő alatt együttesen megtett útnak

\frac{5}{11}

-ét teszi meg a nő,

\frac{6}{11}

-ét a férfi. Így az egész útnak

A

-tól mért

\begin{matrix} \frac{5}{11} \cdot \frac{41}{80} = \frac{41}{176} \end{matrix}

részénél találkoznak, és ez a hídnak

A

-tól mért

\frac{5}{11}

részénél lesz. A híd hossza (a férfi menetidejéből számítva) az egész út

\begin{matrix} \frac{5}{160} = \frac{1}{32} \end{matrix}

része, így a híd

A

-hoz közelebb eső vége

A

-tól az út

\begin{matrix} \frac{41}{176} - \frac{5}{11} \cdot \frac{1}{32} = \frac{77}{352} = \frac{7}{32} \end{matrix}

részén, a túlsó vege pedig az út

A

-tól mért negyedrészére van.
A

B

-ből induló férfi a hídig terjedő utat, azaz az egész út

\frac{3}{4}

részét

\frac{3}{4} \cdot 160 = 120 perc = 2

óra alatt teszi meg, tehát mindketten 11 óra 13 perckor érnek a hídhoz.