A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Legyenek a háromszög csúcsai , , , az ezeknél fekvő szögek , , . Mivel a beírt kör középpontját a szögfelező metszéspontja adja, ezért az oldal látószöge az pontból (3. ábra) 3. ábra
| | (1) |
Ez a szög tehát ismeretében megszerkeszthető. Azt is tudjuk, hogy a oldaltól távolságra van, így a szerkesztés elvégezhető, ha -t meg tudjuk szerkeszteni. Legyenek a beírt kör érintési pontjai a , , oldalon , , , akkor ismeretes, hogy (Valóban a körhöz egy pontból húzott érintő egyenlő volta miatt | |
Ezzel a következő szerkesztéshez jutottunk: Rajzoljunk nagyságú szöget, csúcspontját jelöljük -vel (4. ábra). 4. ábra Húzzunk az egyik szárával párhuzamos egyenest távolságban, amely metszi a másik szárat egy pontban. Az előbbi szárra mérjük rá a csúcstól a távolságot, a -ból -re bocsátott merőleges talppontja legyen . Rajzoljuk meg azt a körívet, amelyből a szakasz szög alatt látszik. Messe ez az először húzott párhuzamost és pontokban. Rajzoljunk pl. körül sugarú kört. Az ehhez -ből és -ből húzott érintők metszéspontja lesz a keresett háromszög harmadik csúcspontja. (E két érintő szükségképpen metszi egymást, a ugyanazon az oldalán, amelyen a kör van. Ugyanis ezen érintőknek a szakasszal bezárt, a kör oldalán fekvő szögei , illetőleg , és e két szög összege .) Csak az így kapott háromszög felelhet meg a feladat feltételeinek, tehát nincs megoldása a feladatnak, ha a látókörív nem metszi a távolságban húzott párhuzamost. Az háromszög valóban megfelel a feltételeknek, mert beírt körének sugara , ennek a középpontjából a oldal szög alatt látszik, s így az csúcsnál fekvő szögre (1) szerint Végül a beírt kör érintési pontját a oldalon -gyel jelölve, a szerkesztett háromszög kerületére (2) szerint De az és derékszögű háromszögek egybevágók, mert -nál, illetőleg -nél fekvő hegyesszögük , és az ezzel szemközti befogó mindkét háromszögben . Így Ennélfogva a szerkesztés szerint. Ha helyett az -ből kiindulva fejezzük be a szerkesztést, akkor -vel egybevágó megoldást kapunk, mert és szimmetrikus a szakaszt felező merőlegesére. Megjegyzés. Legyen az háromszög köré írt kör -t nem tartalmazó ívének felezőpontja (5. ábra). 5. ábra Tudjuk, hogy az csúcsnál fekvő szög felezője átmegy -n, és egyszerű szögszámítás adja, hogy a háromszög egyenlő szárú: . Így , és egy középpontú körön vannak. Ez éppen a fenti megoldásban használt látókörív. Mivel megszerkesztése után, ismeretében a körülírt kör megszerkeszthető, így a pont is. E körül -n és -n át körívet rajzolva, annak egyik metszéspontját a -től távolságra húzott párhuzamossal kössük össze -vel. Ez metszi ki a körülírt körből -t. Többen választották ezt a szerkesztési utat. Ehhez természetesen megfelelően kell módosítani annak bizonyítását is, hogy az háromszög megfelel a feladat feltételeinek. (Lásd a jelen számban kitűzött 372. gyakorlatot.) II. megoldás: Forgassuk le egy háromszög oldalait pl. az oldal meghosszabbítására (6. ábra) 6. ábra Ha az csúcsnál levő szög , akkor a háromszög egyenlő szárú voltából következik, hogy Az előző megoldásban láttuk, hogy a oldal az adatokból megszerkeszthető, így megszerkeszthető a háromszög is a következő módon: Miután -t megszerkesztettük, mint az előző megoldásban, mérjük fel egy egyenesre távolságot, ennek végpontjában az szöget, a -től távolságra levő pont körül pedig rajzoljunk sugárral kört (7. ábra). 7. ábra E körnek a szög másik szárával való valamelyik metszéspontja ‐ ha van ilyen ‐ legyen . A szakasz felező merőlegese metszi ki a szakaszból az pontot. Az háromszög valóban megfelel a feltételeknek, mert szerkesztés szerint a háromszög egyenlő szárú, így , és a háromszög -nál levő külső szöge Ez az háromszög belső szöge kell, hogy legyen. Ugyanis a szerkeszthetőséghez szükséges, hogy legyen. Ez esetben az sugarú középpontú körön kívül van. Ha a kör és a egyenes másik metszéspontját -gyel jelöljük, akkor a szakasz felező merőlegese -n megy át; mivel pedig (és ) felezőpontja és a szakasz felezőpontja közé esik, így -nak is és közé kell esnie. tehát az háromszögnek valóban belső szöge. A háromszög kerülete: Így az I. megoldás (1) szerint a beírt kör érintési pontja -tól távolságra van. Ebből, mivel a beírt kör középpontja az szög felezőjén van, a megszerkesztése szerint következik, hogy a beírt kör sugara olyan derékszögű háromszög befogója, melynek ezzel szemközti szöge , a másik befogója pedig . Mivel -t egy ugyanilyen háromszög segítségével szerkesztettük, melynek emellett kérdéses befogója hosszúságú, így a megszerkesztett háromszög beírt körének sugara . A háromszög tehát megfelel a feladat feltételeinek. Azt állítjuk, hogy ha helyett -ből kiindulva szerkesztünk egy háromszöget, ez az előbbivel egybevágó lesz (a megfelelt csúcsok , és ). Valóban is és közé esik. Essék mondjuk a a és pontok közé, és jelöljük az és háromszögek szögeit , , , illetőleg , , -gyel. Szerkesztés szerint a megadott szög. A egyenlő szárú háromszögből így a -nél keletkező szögek összege | | tehát . Az és háromszögek tehát hasonlók, mivel pedig és oldaluk egyenlő, tehát egybevágók is. III. megoldás: Rajzoljuk meg a háromszög oldalához hozzáírt kört is. A betűzést a 8. ábra mutatja. 8. ábra Ismeretes, hogy ekkor (Valóban a körhöz egy pontból húzott érintők egyenlősége folytán | |
Ez a következő szerkesztéshez vezet: Szerkesszünk nagyságú szöget, csúcsa legyen , és szerkesszük meg a két szárat érintő sugarú kört. Mérjük rá a szög egyik szárára az távolságot, és szerkesszük meg azt a kört, amelyik mindkét szárat érinti, egyiket -ben. Húzzuk meg a két kör egyik közös belső érintőjét, messe ez a szög szárait és pontokban. a keresett háromszög, mert -nál levő szöge , beírt körének sugara , és a (3) összefüggésből következik, hogy kerülete . A másik belső közös érintő meghúzása nyilvánvalóan a megszerkesztettel egybevágó háromszöghöz vezet. |