Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/október, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képezzük a két oldal különbségét

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) - {(a c + b d)}^{2} = a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 2 a b c d = {(a d - b c)}^{2} \geq 0, \end{matrix}

a

b

c

d

minden számbajövő értékére. Egyenlőség csak abban az esetben állhat fenn, ha

\begin{matrix} a d = b c . \end{matrix}

Megjegyzés. 1. A bizonyítás a következő azonosság levezetésével történt:

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} . \end{matrix}

Ebből az itt bizonyított egyenlőtlenség mellett egy számelméleti érdekesség is leolvasható: ha itt

a

b

c

d

egész számokat jelentenek, akkor az azonosság azt fejezi ki, hogy ha két egész szám kifejezhető két négyzetszám összegeként (

m =

= a^{2} + b^{2}

és

n = c^{2} + d^{2}

), akkor a szorzatuknak is megvan ez a tulajdonsága. Ez lényeges segítséget nyújt annak a kérdésnek vizsgálatában, hogy mely számok állíthatók elő két négyzetszám összegeként (lásd idevonatkozóan pl. Matematikai Versenytételek II. részben az 1938. évi 1. feladathoz fűzött jegyzetet).

2. Könnyen igazolható a felhasznált azonosság következő általánosítása:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{k}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{k}^{2}) - {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} ... + a_{k} b_{k})}^{2} = {(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} +

+ (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) + ... + (a_{1} b_{k} - a_{k} b_{1}) + {(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2})}^{2} + ... + (a_{k} b_{k - 1} - a_{k - 1} b_{k})

,

amiből leolvashatjuk az

\begin{matrix} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{k}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) + ... + b_{k}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{k} b_{2})}^{2} \end{matrix}

nevezetes Cauchy-féle egyenlőtlenséget. Itt egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a

b_{i}

-k a megfelelő

a_{i}

-ből minden egyes

i

-re ugyanazon

c

számmal való szorzással keletkeznek.