Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/november, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vizsgálandó kifejezés

\begin{matrix} n^{2} (n^{4} - 1) = (n^{2} - 1) n^{2} (n^{2} + 1) = (n - 1) n (n + 1) n (n^{2} + 1) . \end{matrix}

n

egész szám, akkor itt az első három tényező három szomszédos egész szám. Ezek közül valamelyik osztható 3-mal.
Ha

n

páratlan, akkor az első és harmadik tényező, ha páros, akkor a második és negyedik osztható 2-vel, a szorzat tehát osztható 4-gyel.
Az első három tényező közül valamelyik osztható 5-tel is, ha

n

osztható 5-tel, vagy szomszédos egy 5-tel osztható számmal. Ha viszont

n

egy 5-tel osztható szám második szomszédja:

n = 5 k + 2

, akkor az utolsó tényező

\begin{matrix} n^{2} + 1 = 25 k^{2} + 20 k + 4 + 1 = 5 (5 k^{2} + 4 k + 1) \end{matrix}

osztható 5-tel.
Az

n^{6} - n^{2}

kifejezés tehát minden egész

n

-re osztható 3-mal, 4-gyel és 5-tel. Ebből következik, hogy 60-nal is osztható,^{$^{*}$} mert minden szám 60-nal osztva

\begin{matrix} 60 h + m \end{matrix}

alakban írható, ahol

0 \leq m \leq 59

a maradék. Mivel az első tag osztható 3-mal, 4-gyel és 5-tel, az összeg csak úgy lehet mindhárom számmal osztható, ha

m

is osztható mind a hárommal.
Csak a 0-ra és 5-re végződő számok oszthatók 5-tel és ezek közül is csak 0-ra végződők lehetnek 4-gyel oszthatók, tehát

m

lehetséges értéke csak

\begin{matrix} 0, 10, 20, 30, 40, 50. \end{matrix}

Ezek közül csak 0 és 30 osztható 3-mal, de az utóbbi nem osztható 4-gyel, tehát

m = 0

és így minden 3-mal, 4-gyel és 5-tel osztható szám osztható 60-nal is. Ezzel bizonyítottuk a tétel állítását.

Megjegyzés. Az, hogy a 3-mal, 4-gyel és 5-tel való oszthatóságtól a szorzatukkal 60-nal való oszthatóságra következtethetünk, azon múlik, hogy e három szám közül semelyik kettőnek nincs 1-nél nagyobb közös osztója. Nem volna nehéz a kifejezés 4-gyel, 5-tel és 6-tal való oszthatóságát kimutatni, ebből sem következtethetnénk

4 \cdot 5 \cdot 6 = 120

-szal való oszthatóságra, amint hogy a kifejezés

n = 2

-re 60-at ad és ez mindjárt nem osztható 120-szal. Ebbe a hibába többen beleestek, hogy két számmal való oszthatóságból a szorzatukkal való oszthatóságra következtettek, nem törődve a tényezők közös osztóival.

^{$^{*}$}Hivatkozhatnánk egyszerűen arra a tételre, hogy ha egy egész szám osztható olyan egész számokkal, amelyek páronként relatív prímek egymáshoz, akkor osztható ezek szorzatával is. A következő meggondolás azonban azt mutatja, hogy ezt konkrétan adott számok esetén könnyű közvetlenül igazolni.