A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A vizsgálandó kifejezés | |
Ha egész szám, akkor itt az első három tényező három szomszédos egész szám. Ezek közül valamelyik osztható 3-mal. Ha páratlan, akkor az első és harmadik tényező, ha páros, akkor a második és negyedik osztható 2-vel, a szorzat tehát osztható 4-gyel. Az első három tényező közül valamelyik osztható 5-tel is, ha osztható 5-tel, vagy szomszédos egy 5-tel osztható számmal. Ha viszont egy 5-tel osztható szám második szomszédja: , akkor az utolsó tényező | | osztható 5-tel. Az kifejezés tehát minden egész -re osztható 3-mal, 4-gyel és 5-tel. Ebből következik, hogy 60-nal is osztható, mert minden szám 60-nal osztva alakban írható, ahol a maradék. Mivel az első tag osztható 3-mal, 4-gyel és 5-tel, az összeg csak úgy lehet mindhárom számmal osztható, ha is osztható mind a hárommal. Csak a 0-ra és 5-re végződő számok oszthatók 5-tel és ezek közül is csak 0-ra végződők lehetnek 4-gyel oszthatók, tehát lehetséges értéke csak Ezek közül csak 0 és 30 osztható 3-mal, de az utóbbi nem osztható 4-gyel, tehát és így minden 3-mal, 4-gyel és 5-tel osztható szám osztható 60-nal is. Ezzel bizonyítottuk a tétel állítását. Megjegyzés. Az, hogy a 3-mal, 4-gyel és 5-tel való oszthatóságtól a szorzatukkal 60-nal való oszthatóságra következtethetünk, azon múlik, hogy e három szám közül semelyik kettőnek nincs 1-nél nagyobb közös osztója. Nem volna nehéz a kifejezés 4-gyel, 5-tel és 6-tal való oszthatóságát kimutatni, ebből sem következtethetnénk -szal való oszthatóságra, amint hogy a kifejezés -re 60-at ad és ez mindjárt nem osztható 120-szal. Ebbe a hibába többen beleestek, hogy két számmal való oszthatóságból a szorzatukkal való oszthatóságra következtettek, nem törődve a tényezők közös osztóival. Hivatkozhatnánk egyszerűen arra a tételre, hogy ha egy egész szám osztható olyan egész számokkal, amelyek páronként relatív prímek egymáshoz, akkor osztható ezek szorzatával is. A következő meggondolás azonban azt mutatja, hogy ezt konkrétan adott számok esetén könnyű közvetlenül igazolni. |
|