Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/november, 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szöveges feladatok, Százalékszámítás, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $x$ -szel a lányok számát az év elején. Ekkor a lányok és fiúk száma az év elején, illetőleg év végén $x$ és $x + 51$ , illetőleg $x - 41$ és $x + 32$ . A lányok számát az összlétszám százalékában kifejezve a feladat feltétele a következő egyenletre vezet:

\begin{matrix} \frac{100 x}{2 x + 51} = \frac{100 (x - 41)}{2 x - 9} + 4. \end{matrix}

Az egyenletet 4-gyel osztva, a törteket eltávolítva és 0-ra redukálva, nyerjük, hogy gyökei megegyeznek a

\begin{matrix} - 4 x^{2} + 466 x + 52 734 = 0, \end{matrix}

vagy a

\begin{matrix} 2 x^{2} - 233 x - 26 367 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökeivel, feltéve, hagy utóbbiak különböznek az eltávolított nevezők gyökeitől. A nyert egyenletnek egy pozitív és egy negatív gyöke van, amelyek közül csak az előbbi felel meg a feladat feltételeinek, tehát a lányok száma az év elején

\begin{matrix} x = \frac{233 + \sqrt[]{54 289 + 210 939}}{4} = \frac{233 + 515}{4} = 187, \end{matrix}

(ami valóban nem gyöke az eltávolított nevezőknek), a fiúk száma pedig 238 volt. (A lányok év elején az összes tanulók 44 %-át, az év végén a tanulók 40 %-át tették ki.)