Kezdőlap


Feladat:	1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/október, 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Prímszámok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 1956. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egész számot $n$ -nel, utolsó számjegyét $b$ -vel, az ennek elhagyásával keletkező számot $a$ -val jelölve ( $0 \leq b \leq 9$ , $a \geq 0$ ) a feladat előírása szerint az

\begin{matrix} n = 10 a + b \end{matrix}

számhoz a

\begin{matrix} d = a - 2 b \end{matrix}

számot kell kiszámítani. Innen kiküszöbölhetjük pl.

b

-t úgy, hogy

d

-t hozzáadjuk

n

kétszereséhez:

\begin{matrix} 2 n + d = 21 a . \end{matrix}

A jobboldal osztható 7-tel, azért a baloldali összegnek is oszthatónak kell lennie 7-tel. Ebből következik, hogy ha valamely tag osztható 7-tel, akkor a másik is. Ha tehát

d

osztható 7-tel, akkor

2 n

is osztható 7-tel, különben pedig nem.
Ebből továbbá következik a feladat állítása, mert tudjuk, hogy

2 n

akkor és csakis akkor osztható 7-tel, ha

n

osztható 7-tel. Világos, hogy ha

n

osztható 7-tel, akkor

2 n

is. Ha viszont

n

nem osztható 7-tel, akkor 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 maradékot ad, és a kétszerese ekkor rendre 2, 4, 6, 1, 3 illetőleg 5 maradékot ad, tehát szintén nem osztható 7-tel.