A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A feladatot megoldhatjuk számítás segítségével. Jelöljük az érintőkörök középpontját és -vel, érintési pontjukat a egyenesen és -vel (5. ábra). 5. ábra Ismeretes, hogy , ahol a háromszög kerületének felét jelenti. -t összekötve a körközéppontokkal tudjuk, hogy és a háromszög -nél levő belső és külső szögfelezői, és így egymásra merőlegesek. Ebből következik, hogy mint merőlegesszárú szögek egyenlők, következőleg és háromszögek hasonlók. A befogók arányát felírva | | Innen -et kiszámítva (a pozitív gyököt véve) Ez a távolság megszerkeszthető; a második tag pl. a következő módon: mérjük fel egy egyenesre közös pontból ellenkező irányban a távolságot (6. ábra). 6. ábra Az egyenesre -ben emelt merőleges messe a , mint átmérő fölé emelt félkört -ben akkor ‐ mint ismeretes ‐ . -ből felmérve a egyenesre (bármelyik irányban) a távolságot , alapján a egyenesen megszerkeszthetjük a és , pontokat. A többi már triviális.
II. megoldás: Az előző megoldás jelöléseit használva, ott azt láttuk be, hogy az szakasz a pontból ‐ és természetesen ugyanúgy a pontból is ‐ derékszögben látszik. Ezt az előbbinél sokkal egyszerűbben is felhasználhatjuk a háromszög megszerkesztésére. A nyert összefüggés szerint az , mint átmérő fölé emelt félkör átmegy -n és -n (7. ábra). 7. ábra A kör középpontjából a egyenesre bocsátott merőleges egyrészt felezi a szakaszt, mint a kör húrját, másrészt hossza, mint az trapéz középvonala hosszúságú. Ennek alapján a szerkesztés a következőképpen történhetik: Egy hosszúságú szakasz felezőpontjában hosszúságú merőlegest emelünk (8. ábra). 8. ábra Megrajzoljuk a középpontú -n és -n átmenő kört és ennek a egyenestől a pont felé eső félkörét elmetsszük a egyenestől távolságban. Az pont körüli, egyenest érintő kör -ből és -ből húzott érintője lesz a háromszög másik két oldala. Be kell látnunk, hogy a háromszög megfelel a feltételeknek, tehát hogy oldalához hozzáírt kör , sugarú. Azt mutatjuk meg, hogy e hozzáírt kör középpontja a középponttal rajzolt kör pontjával átelenes , pont és ez a egyenestől távolságra van. Az előbbi következik abból, hogy , a háromszög pontban levő belső szögének és a csúcsú külszögnek a szögfelezőin van. Ennek igazolására tekintsük az középpontú sugarú kört. Ez szerkesztés szerint hozzáírt köre a háromszögnek, tehát felezi a csúcsnál levő külső szöget, pedig a -nél levő belső szöget. Így a és egyenesek, amelyek az előbbiekre merőlegesek, valóban felezik a -nél levő belső szöget, ill. a -nél levő külső szöget. Másrészt -ből és -ből merőlegest bocsátva a egyenesre trapézt kapunk, amelynek -ből induló párhuzamos oldala hosszúságú, -ból induló középvonala pedig hosszúságú. Így az -ből induló oldal hossza valóban . III. megoldás: Készítsünk vázlatot (7. ábra). A oldalhoz hozzáírt sugarú kör érintse a egyenest -ben, -t -ben, az oldalhoz hozzáírt sugarú kör -n levő érintési pontja legyen ; a háromszög kerületének felét jelöljük -sel. Ekkor tehát Ennek alapján a következő szerkesztés nyerhető: hosszúságú szakaszhoz rajzoljunk ellenkező oldalról -ben érintő sugarú és -ben érintő sugarú kört (9. ábra). 9. ábra Szerkesszük meg a második belső közös érintőt és egy külső közös érintőt. Az érintők zárják közre a kívánt háromszöget. Jelöléseket az ábra szerint választva azt kell igazolnunk, hogy , ez pedig a fenti számoláshoz hasonlóan következik: | |
Megjegyzés: A helyes megoldók többsége csak bonyolult számításokkal oldotta meg a feladatot.
|
|