Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/november, 79 - 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A mutatóknak az óralapon megtett útját célszerű a teljes körüljárás $60$ -ad részével (a nagymutató $1$ percnyi útjával) vagy $12$ -ed részével (a kismutató egy órai útjával) mérni.
A $2$ és $3$ óra közti mutatóállásnál legyen a kismutatónak a $2$ órától kezdve megtett útja, a körüljárás $60$ -ad részében mérve $x$ . Ekkor a kismutató a $12$ -es számtól $10 + x$ egységnyire van, a nagymutató pedig $12 x$ -nyire.
Ha $6$ óra után $y$ egységnyit mozdult el a kismutató a felcserélt mutatókkal ugyanezen álláshoz, akkor a második helyzetben a kismutató $30 + y$ -nyira a nagy pedig $12 y$ -nyira van a $12$ -estől. Feltétel szerint

\begin{matrix} 10 + x & = 12 y, \\ 12 x & = 30 + y \end{matrix}

kell hogy legyen. Innen

\begin{matrix} x = \frac{370}{143} = 2 \frac{84}{143}, y = \frac{150}{143} = 1 \frac{7}{143} . \end{matrix}

Tehát a keresett időpont

\begin{matrix} 2 óra 31 \frac{7}{143} perc (\approx 31 p 2, 9 mp) . \end{matrix}

A megfelelő időpont

6

és

7

óra között

\begin{matrix} 6 óra 12 \frac{84}{143} perc (\approx 12 p 35, 2 mp) . \end{matrix}

II. megoldás: Az ismeretlenek meghatározására abból is nyerhetünk egyenleteket, hogy bármely időpontban olyan arányban osztja a kismutató a két szomszédos egész órát jelölő szám közti ívet, mint amilyen a

12

-es számtól az egyik és másik irányban a nagymutatóig terjedő ívek aránya.
Válasszuk egységnek a teljes kör

12

-ed részét, a kérdéses mutatóállásnál legyen az egyik mutató a

2

-es szám után

x

beosztással, a másik a

6

-os után

y

beosztással. Ekkor a fenti megjegyzést a

2

és

3

óra közti időre vonatkoztatva

\begin{matrix} \frac{x}{1 - x} = \frac{6 + y}{6 - y}, \end{matrix}

6

és

7

óra közötti mutatóállást tekintve pedig

\begin{matrix} \frac{y}{1 - y} = \frac{2 + x}{10 - x} . \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} 12 x = 6 + y, 12 y = 2 + x . \end{matrix}

Ha még tekintetbe vesszük, hogy itt a mértékszámok ötödei az előző megoldásban szereplő

x

és

y

értékeknek, akkor láthatjuk, hogy lényegében az ott szereplő egyenletrendszert kaptuk vissza.

III. megoldás: Egy ismeretlennel is megoldhatjuk a feladatot. Az első megoldás jelöléseit használva a kis és nagymutató helyét

2

és

3

óra közt a

10 + x

és

12 x

elfordulások adják most. Ha most a kismutató van

6

és

7

közt a

12 x

helyen, akkor a nagymutató helyzetét a

12 (12 x - 30)

elfordulás jelzi, tehát

\begin{matrix} 10 + x = 12 (12 x - 30) . \end{matrix}

Itt tulajdonképpen nem tettünk egyebet, mint hogy okoskodás útján küszöböltük ki az első megoldás egyenletrendszerében szereplő

y (= 12 x - 30)

ismeretlent.

Jegyzet: Sokan választották a mutatók helyzetének meghatározására a következő utat (az elfordulásokat ismét a teljes kör

12

-ed részével mérve): A

2

és

3

óra közti mutató állásánál a nagymutató

6

és

7

közt van. Ez azt jelenti, hogy a kicsi a

2

-es számtól legalább

6 / 12

és legfeljebb

7 / 12

távolságra lehet. Ekkor

6

és

7

óra közt a nagymutató van a

12

-estől számítva

2 + \frac{6}{12} = \frac{30}{12}

és

2 + \frac{7}{12} = \frac{31}{12}

-del jelzett határok közt, tehát a kicsi a

6

után legalább

\frac{30}{144}

-del, de legfeljebb

\frac{31}{144}

-del kell hogy legyen. Ekkor azonban a nagymutató is ezen határok közt van

6

és

7

közt, vagyis a

12

-től mérve legalább

6 + \frac{30}{144} = \frac{894}{144}

és legfeljebb

6 + \frac{31}{144} = \frac{895}{144}

-nyire. Így a kismutatóról azt is tudjuk, hogy a

2

-estől legalább

\frac{894}{12^{3}}

-nyire és legfeljebb

\frac{895}{12^{3}}

-nyire van. Hasonlóan szűkíthetők egyre jobban a mutatók helyzetére adható határok. Pl.

1 / 12^{3} = 1 / 1728

-ad beosztás (vagyis

5

perc ugyanennyied része) kevesebb mint

0, 2

másodperc, tehát már a kapott értékek is jó közelítést adnak. Alkalmas ez a fokozatos közelítési eljárás a pontos érték meghatározására is, azonban ennek a keresztülvitele lényeges új fogalmak tisztázásán keresztül történhetne csak, ami nem állna arányban a feladat nehézségével.

Megjegyzés: Feltűnően sok versenyző idegenkedett a pontos eredményt szolgáltató közönséges törtektől és inkább közelítő értéket szolgáltató tizedes törtekkel számolt pontatlanul.