Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/október, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Prímszámok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Figyeijük meg, hogy páros számot 6-tal szorozva az utolsó számjegy változatlan marad, két egész szám szorzatának utolsó jegyét pedig a tényezők utolsó számjegyei szorzatának az utolsó jegye adja. Így mivel $2^{4}$ utolsó jegye 6, tehát $2^{5}$ , $2^{9}$ , általában tetszés szerinti pozitív egész $k$ -ra $2^{4 k + 1}$ ugyanarra a jegyre végződik mint az első hatvány, vagyis 2-re, hasonlóan $2^{4 p + 2}$ utolsó jegye 4, $2^{4 k + 3}$ -é 8, végül $2^{4 k}$ -é 6.
Így $2^{n} + 1$ akkor és csakis akkor végződik 5-re, ha az $n$ kitevő $4 k + 2$ alakú, $2^{n} - 1$ akkor és csakis akkor, ha $4 k$ alakú a kitevő $2 n$ aszerint $4 k + 2$ alakú, vagy $4 k$ alakú, amint $n$ páratlan, vagy páros. Így $2^{2 n} + 1$ az első esetben 5-re, a másodikban 7-re végződik. Azt kaptuk tehát, hogy ha a természetes szám, akkor a

\begin{matrix} 2^{n} - 1, 2^{n} + 1, és 2^{2 n} + 1 \end{matrix}

számok közül az egyik és csakis az egyik osztható mindig 5-tel.

II. megoldás.

2^{n} - 1

és

2^{n} + 1

szomszédos páratlan számok, tehát utolsó jegyeik 1 és 3 vagy 3 és 5, vagy 5 és 7, vagy 7 és 9 vagy 9 és 1 lehet. A második és harmadik esetben a feladat állításának helyessége nyilvánvaló. Az ötödik nem fordulhat elő, mert ekkor

\begin{matrix} (2^{n} - 1) + (2^{n} + 1) = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 1} \end{matrix}

10-zel, tehát 5-tel is osztható volna, ami lehetetlen. A fennmaradó első és negyedik esetben az utolsó jegyek szorzata egyformán 3-ra végződik, tehát

(2^{n} - 1) (2^{n} + 1) = 2^{2 n} - 1

utolsó jegye 3, s így

(2^{2 n} + 1)

-é 5, tehát ez osztható 5-tel.

III. megoldás: Elég megmutatni, hogy a feladatban szereplő három szám szorzata osztható 5-tel, mert 5 prímszám, és prímszámoknak megvan az a tulajdonságuk, hagy egész számok egy szorzatának csak úgy lehetnek az osztói, ha osztói valamelyik tényezönek.²
A négy szám szorzata:

\begin{matrix} (2^{n} - 1) (2^{n} + 1) (2^{2 n} + 1) = (2^{2 n} - 1) (2^{2 n} + 1) = 2^{4 n} - 1 = {(2^{4})}^{n} - 1 \end{matrix}

mindig osztható

2^{4} - 1 = 15

-tel, tehát 5-tel is.
Az eredmény mutatja, hogy a három szám valamelyike mindig osztható 3-mal is.
Jegyzet. Ez a megoldás világosan mutatja a feladat kapcsolatát az I. forduló 3. feladatával kapcsolatban említett Fermat-féle tétellel.

IV. megoldás: Mivel

\begin{matrix} 2^{2 n} + 1 = 2^{2 n} - 4 + 5 = (2^{n} - 2) (2^{n} + 2) + 5, \end{matrix}

így ez a szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha jobboldalon szereplő szorzat osztható 5-tel.
De

\begin{matrix} 2^{n} - 2, 2^{n} - 1, 2^{n}, 2^{n} + 1, 2^{n} + 2 \end{matrix}

öt egymástitáni egész szám. Tehát közülük egy és csakis egy osztható 5-tel. A középső szám nem osztható 5-tel, tehát a másik négy közt kell 5-tel oszthatónak lennie. Ebből már következik a feladat állításának helyessége.

²A primszáwoknak ez a nevezetes tulajdonsága semmiképpen sem tekinthető magától értetődőnek. Bizonyításira lásd pl. az előző lábjegyzetben idézett műben a 22. old.