Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Nevezzük a két gépkocsit röviden $a$ -nak és $b$ -nek. Feküdjön $A$ az $x$ km-kőnél és $B$ az $(x + y)$ km-kőnél. Jelöljük az első, második és harmadik találkozási pontot rendre $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ -mal.
Az első találkozásig a két gépkocsi együttvéve $y$ km utat tesz meg. A feladat szerint $A T_{1} : T_{1} B = 5 : 4$ , amiből

7. ábra

\begin{matrix} A T_{1} = \frac{5 y}{9} (7. ábra) . \end{matrix}

A második találkozásig együttesen

3 y

km utat tesznek meg, tehát

a

megtesz

3 \cdot \frac{5 y}{9} = \frac{15 y}{9} = y + \frac{6 y}{9} = y + \frac{2 y}{3}

km-t, és így

T_{1}

x + y - \frac{2 y}{3} = x + \frac{y}{3}

km-kőnél fekszik.
A harmadik találkozásig a két gépkocsi együttvéve

5 y

utat tesz meg, amiből

a

-ra esik

5 \cdot \frac{5 y}{9} = \frac{25 y}{9} = 2 y + \frac{7 y}{9}

, tehát

T_{2}

-nél az

x + \frac{7 y}{9}

km-kő van. A feladat szerint

\begin{matrix} x + \frac{y}{3} = 145, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x + \frac{7 y}{9} = 201, \end{matrix}

(2)

amiből

\begin{matrix} y = 126 és x = 103. \end{matrix}

Tehát

A

a 103-as,

B

a 103 + 126 = 229-es km-kőnél fekszik.
Célszerű az

x

ismeretlent egyelőre teljesen figyelmen kívül hagyni, amikor is

y

-ra olyan egyszerű egyenletet ‐ tudniillik (2) és (1) különbségét ‐ nyerünk, amely már következtetéssel pótolható, amint azt az alábbi megoldás mutatja.

II. megoldás: Az

a

és

b

jelöléseket megtartva az első találkozásig

a

A B

útszakasz

\frac{5}{9}

-ét,

b

\frac{4}{9}

-ét teszi meg. Minden további Két találkozás közt a két gépkocsi együtt az

A B

szakasz kétszeresét teszi meg, tehát

a

az útszakasz

\frac{10}{9}

-ét,

b

\frac{8}{9}

-ét. Így a második találkozás az útszakasz

A

-tól számított

\frac{1}{3}

-án történik, a harmadik pedig az

A

-tól számított

\frac{7}{9}

-én. A két találkozás helyének 56 km-es távolsága tehát az

A B

szakasz

\frac{4}{9}

része. A harmadik találkozástól

\frac{2}{9}

útszakasznyira tehát a 229-es kilométerkőnél van

B

A

pedig az útszakasz

\frac{1}{3} = \frac{3}{9}

-ével azaz 42 km-rel a második találkozás helye előtt, tehát a 103-as kilométerkőnél.