Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/november, 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A gyökjel alatti kifejezések így alakíthatók át: $7 + \sqrt[]{24} = 6 + 2 \sqrt[]{6} + 1 = {(\sqrt[]{6} + 1)}^{2}$ , és hasonlóan $7 - \sqrt[]{24} = {(\sqrt[]{6} - 1)}^{2}$ . Mivel $\sqrt[]{6} > 1$ , így a gyökmennyiségek pozitív értékét véve

\begin{matrix} \sqrt[]{7 + \sqrt[]{24}} - \sqrt[]{7 - \sqrt[]{24}} = (\sqrt[]{6} + 1) - (\sqrt[]{6} - 1) = 2. \end{matrix}

ami valóban egész szám.
Célhoz érhetünk azonban a felhasznált átalakítás lehetőségének észrevétele nélkül is.

II. megoldás: A vizsgálandó érték pozitív. Számítsuk ki a négyzetét:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{7 + \sqrt[]{24}} - \sqrt[]{7 - \sqrt[]{24}})}^{2} = 7 + \sqrt[]{24} - 2 \sqrt[]{49 - 24} + 7 - \sqrt[]{24} = 14 - 2 \cdot 5 = 4. \end{matrix}

Így a két gyök különbsége 2, ami valóban egész szám.
Jegyzet: Hasonlóan belátható, hogy ha

a > 0

és

0 \leq b \leq a

, akkor

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a + \sqrt[]{b}} \pm \sqrt[]{a - \sqrt[]{b}})}^{2} = 2 a \pm 2 \sqrt[]{a^{2} - b} . \end{matrix}

Megjegyzés: A legnagyobb hiba, amit a versenyzők egy része elkövetett az volt, hogy a négyzetgyökök értékét számította ki közelítőleg tizedestörtekben, és így vélte a kívánt igazolást szolgáltatni. ‐ Igen sokan nem vették észre, hogy a vizsgálandó különbség pozitív, és értékének a >>

- 2

<<-t is megadták.