Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/október, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Euler-Fermat-tételek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Öttel való oszthatóság eldöntésére elegendő egy szám utolsó jegyét nézni. Hatvány utolsó jegye viszont csak az alap utolsó jegyétől függ, így egyszerű számítással adódik, hogy a negyedik hatvány utolsó jegye, ha az alap utolsó jegye

\begin{matrix} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \end{matrix}

sorra

\begin{matrix} 0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1 \end{matrix}

lesz. Két negyedik hatvány különbsége tehát 0-ra vagy 5-re végződik, s így osztható 5-tel, kivéve azt az esetet, ha az egyik hatványozott szám osztható öttel, a másik pedig nem.

II. megoldás. Annak eldöntésére, hogy egy különbség osztható-e 5-tel, elég ezt a maradékot nézni, amely adódik, ha a kisebbítendőt, ill. kivonandót 5-tel osztjuk.
Szükségünk lesz ennek megvizsgálásához arra az észrevételre, hogy egy szám négyzete 5-tel osztva ugyanazt a maradékot adja, mint az 5-tel való osztásból származó maradékának a négyzete. Valóban, ha

\begin{matrix} a = 5 k + r, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a^{2} = 25 k^{2} + 10 k r + r^{2} = 5 (5 k^{2} + 2 k r) + r^{2}, \end{matrix}

s így

a^{2}

-nek 5-tel osztva ugyanannyi a maradéka, mint

r^{2}

-nek.
Legyen most már

a

és

b

két egész szám.
Ekkor

\begin{matrix} a^{4} - b^{4} = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2}) . \end{matrix}

Ha a két szám ugyanannyi maradékot ad 5-tel osztva, akkor az első tényező osztható 5-tel. (Beleértjük azt az esétet is, ha mind a két szám osztható 5-tel, azaz ha mindkét maradék 0.) Ha a két szám maradéka 1 és 4, vagy 2 és 3, akkora második tényező osztható 5-tel.
Maradnak még azok az esetek, amelyekben a két szám maradéka 1 és 2, 1 és 3, 4 és 2, 4 és 3, mert ha az egyik szám 0 maradékot ad, a másik pedig 0-tól különböző maradékot 5-tel osztva, akkor a negyedik hatványok különbsége nyitván nem osztható 5-tel. Az 1 és 4 maradékot adó számok négyzete 1-et, a 2 és 3 maradékot adó számok négyzete pedig, 5-tel osztva, 4-et, ad maradékul, s így a hátralevő négy esetben a fenti szorzat harmadik tényezője osztható 5-tel.
Azt nyertük tehát, hogy két szám negyedik hatványának különbsége csak akkor nem osztható 5-tel, ha az egyik szám osztható 5-tel a másik nem,
Jegyzet: Válasszuk

b

-t 1-nek, ekkor eredményünk azt adja, hogy

\begin{matrix} a^{4} - 1 \end{matrix}

mindig osztható 5-tel, ha

a

nem osztható 5-tel. Ez speciális esete Fermat következő nevezetes tételének:

^{*}

¹
Ha

p

prímszám,

a

pedig bármilyen

p

-vel nem osztható szám, akkor

\begin{matrix} a^{p - 1} - 1 \end{matrix}

osztható

p

-vel.

¹Lásd pl. Faragú László:

≫

A számelmélet elemei

≪

c. szakköri füzet 75. old.