A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Öttel való oszthatóság eldöntésére elegendő egy szám utolsó jegyét nézni. Hatvány utolsó jegye viszont csak az alap utolsó jegyétől függ, így egyszerű számítással adódik, hogy a negyedik hatvány utolsó jegye, ha az alap utolsó jegye sorra lesz. Két negyedik hatvány különbsége tehát 0-ra vagy 5-re végződik, s így osztható 5-tel, kivéve azt az esetet, ha az egyik hatványozott szám osztható öttel, a másik pedig nem. II. megoldás. Annak eldöntésére, hogy egy különbség osztható-e 5-tel, elég ezt a maradékot nézni, amely adódik, ha a kisebbítendőt, ill. kivonandót 5-tel osztjuk. Szükségünk lesz ennek megvizsgálásához arra az észrevételre, hogy egy szám négyzete 5-tel osztva ugyanazt a maradékot adja, mint az 5-tel való osztásból származó maradékának a négyzete. Valóban, ha akkor | | s így -nek 5-tel osztva ugyanannyi a maradéka, mint -nek. Legyen most már és két egész szám. Ekkor Ha a két szám ugyanannyi maradékot ad 5-tel osztva, akkor az első tényező osztható 5-tel. (Beleértjük azt az esétet is, ha mind a két szám osztható 5-tel, azaz ha mindkét maradék 0.) Ha a két szám maradéka 1 és 4, vagy 2 és 3, akkora második tényező osztható 5-tel. Maradnak még azok az esetek, amelyekben a két szám maradéka 1 és 2, 1 és 3, 4 és 2, 4 és 3, mert ha az egyik szám 0 maradékot ad, a másik pedig 0-tól különböző maradékot 5-tel osztva, akkor a negyedik hatványok különbsége nyitván nem osztható 5-tel. Az 1 és 4 maradékot adó számok négyzete 1-et, a 2 és 3 maradékot adó számok négyzete pedig, 5-tel osztva, 4-et, ad maradékul, s így a hátralevő négy esetben a fenti szorzat harmadik tényezője osztható 5-tel. Azt nyertük tehát, hogy két szám negyedik hatványának különbsége csak akkor nem osztható 5-tel, ha az egyik szám osztható 5-tel a másik nem, Jegyzet: Válasszuk -t 1-nek, ekkor eredményünk azt adja, hogy mindig osztható 5-tel, ha nem osztható 5-tel. Ez speciális esete Fermat következő nevezetes tételének: Ha prímszám, pedig bármilyen -vel nem osztható szám, akkor osztható -vel.
Lásd pl. Faragú László: A számelmélet elemei c. szakköri füzet 75. old. |