Feladat: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1955/október, 34. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szögfelező egyenes, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az 1. ábra mutatja.

 
 
1. ábra
 

Mivel a feltétel szerint az ADE▵ egyenlő szárú, a belső és külső szögfelező pedig egymással merőleges azért
ADB∢=45∘,
és így
ADC∢=135∘.

Az ADC, ill ADB háromszögekre a külső és belső szögek közötti összefüggést felhasználva
γ+α2=45∘,(1)γ+β2=135∘.(2)



(1) és (2)-ből következik, hogy
β=135∘-α2=135∘-(45∘-γ)=90+γ,
és így
α=180∘-(β+γ)=180∘-(90∘+2γ)=90∘-2γ.

Tehát a háromszög szögeire fennáll,
γ<45∘,β=90∘+γ,α=90∘-2γ.(3)

Fordítva, ha a (3) alatti összefüggések teljesülnek, akkor α, β γ mind pozitívok, és összegük 180∘, és így szerkeszthető (pl. kiindulva egy tetszőleges 45∘-nál kisebb γ szögből) olyan háromszög, amelynek ezek a szögei. Ebben a háromszögben teljesülnek az (1) a (2) alatti egyenlőségek, vagyis az ABC▵ α szögének AD felezője a DB iránnyal
α2+γ=45∘
nagyságú szöget zár be. Ha AE az α szög külső szögének a felezője akkor EAD∢=90∘, és így AED∢-45∘, vagyis ADE▵ egyenlő szárú azaz
AD=AE.

Tehát a (3) alatti összefüggések teljesen jellemzik a feladat követelményeinek megfelelő háromszögeket.