Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1955/október, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Paraméteres egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 1955. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A motorcsónak az $A B = x$ km távolságot

\begin{matrix} \frac{x}{a} \end{matrix}

óra alatt teszi meg. A motorcsónak indulásától kezdve a hajó

x - d

km-t tesz meg

B

-ig; ezt

b

km/óra sebességgel haladva

\begin{matrix} \frac{x - d}{b} \end{matrix}

óra alatt teszi meg. Ez

n

órával több, mint a motorcsónak menetideje, tehát

\begin{matrix} \frac{x - d}{b} = \frac{x}{a} + n . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} (a - b) x = a d + a b n, \end{matrix}

tehát ha

a \neq b

, akkor

\begin{matrix} A B = x = \frac{a (b n + d)}{a - b} km. \end{matrix}

a

b

d

n

adatok pozitív számok és a megoldásnak is csak akkor van értelme a feladat szempontjából, ha pozitív.
A feladatnak tehát csak akkor van megoldása ha

a > b

(ez nyilvánvaló is), és akkor mindig van egy megoldása.

II. megoldás. A feladatnak nyilvánvalóan csak akkor lehet megoldása, ha

a > b

. Ekkor a motorcsónak óránként

a - b

km-t hoz be a gőzhajó előnyéből. A motorcsónak az

A B

úton utoléri a hajót, sőt még akkora előnyt is szerez, amennyit a hajó

n

óra alatt tud megtenni, vagyis

b n

km előnyt. A

d

km hátrány behozásához és a

b n

km előny megszerzéséhez

\begin{matrix} \frac{d + b n}{a - b} óra \end{matrix}

időre van szüksége a motorcsónaknak. Ennyi idő alatt teszi tehát meg az

\bar{A B}

utat, s így a megtett út hossza

\begin{matrix} A B = a \frac{b n + d}{a - b} km \end{matrix}