A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kör minden pontjából húzzunk az egyenessel párhuzamos egyenest, messe ez -t a pontban, a kört pedig másodszor az pontban. -ből mérjük rá a egyenesre mindkét irányban a távolságot. A keletkező mértani helynek az egyenessel való metszéspontjaiban -vel párhuzamosan húzott egyenesek adják a feladat megoldásait. 3. ábra Jelöljük az -vel párhuzamos körérintőket - és -val, a -nek a irányra merőleges körátmérőre vonatkozó tükörképét -vel. Ha -vel ellentétes irányú távolságokat mérünk fel (lásd az ábrán az és egyeneseken a ill. pontokat), akkor, ha a végigfut a körön a pontok kétszer futják be a -n ennek és közti szakaszát. (Az ábrán a két végpontot nyíllal jelöltük.) Ennek a szakasznak az egyenessel való metszéspontján át ‐ ha van ilyen ‐ az -vel párhuzamosan húzott egyenes szolgáltatja a feladat egyik megoldását. (Nevezhetjük >>tükrös megoldás<<-nak, mert egymásnak tükörképei -re nézve.) A mértani hely másik részét megkapjuk, ha az -vel párhuzamos egyenesekre a szakaszokkal egyirányú távolságokat mérünk. Ha befutja a teljes kört (tehát a és pontok felcserélődnek) a pontok zárt görbét futnak be, mely görbéből minden és közti párhuzamoson 2‐2 pont fekszik. Ennek a görbének az egyenessel lehetséges metszéspontjait kellene megszerkeszteni. Erre azonban a talált mértani hely már nem alkalmas. Hasznát vehetjük azonban itt is a egyenesnek. Tegyük fel, hogy az -n átmenő megoldás már meg van szerkesztve; ennek metszéspontja a körrel és , a és egyenesekkel és és , végül és e távolságok egyirányúak. Mivel szerkesztése szerint , azért és e távolságok már ellentétes irányúak, azaz az szakasz felezőpontja. Így a és hasonlóképpen a is, rajta van azon a vonalon, melyet az és közti -vel párhuzamos egyenesek és közé eső szakaszainak felezőpontjai alkotnak. Tudjuk azonban, hogy ilyen szakaszt bárhol megrajzolva, a keletkező háromszögnek súlyvonalán vannak az összes felezőpontok, tehát a súlyvonalnak az és közé eső szakaszán lesz az újabb mértani hely, melynek közös pontjai a körrel adják a -t és -at. (Ha és metszéspontja a rajz keretén belül van, akkor az szakasz felezőpontja nyilván a tengelyen van és az egyenes az keresett súlyvonala.) A és pontokon át -vel húzott párhuzamosak és megoldások, amelyeken ill. egyirányúak. Ilyen fajta (nem tükrös) megoldások száma 2, 1 (2 egybeeső), ill. 0 aszerint, amint két különböző pontban metszi a kört, érinti a kört, vagy nem metszi a kört. Az összes megoldások száma tehát 3, 2, 1 vagy 0. Megjegyzés: A görbe úgy keletkezett az adott körből, hogy azt a egyenestől mindkét oldalon egy adott irányban kétszeresre nyújtottuk. Ha speciálisan az egyenes átmérő és az irány erre merőleges (a nyújtás vagy zsugorítás pedig tetszés szerinti arányú), akkor a III. osztály tananyagában szerepel annak bizonyítása, hogy a körből így keletkező görbe ellipszis. A IV. reálosztályosok az ábrázoló-geometriai órákról azt is tudják, hogy tetszőleges egyenes, tetszőleges irányú és tetszőleges arányú nyújtás (vagy zsugorítás) esetén is, a kör ellipszisbe megy át, és a kör- és ellipszis-rendszer közötti geometriai rokonságot >>affinitás<<-nak hívjuk. A IV. reálosztályosok még azt is tudják, hogy pl. a tengelyeivel megadott ellipszisnek egy egyenessel való metszéspontjait úgy szerkeszthetjük meg, hogy az ellipszist affin vonatkozásba hozzuk egy körrel, az ellipszis-rendszerben megadott egyenesnek megszerkesztjük az affin megfelelőjét a körrendszerben, ez utóbbinak a körrel való metszéspontjait visszavisszük az ellipszis-rendszerbe. Jelen esetben tulajdonképpen az ellipszis-rendszerben megadott egyenesnek megszerkesztettük a körrendszerbe a megfelelőjét -et, arányú zsugorítással. Figyeljük végül meg, hogy az megoldáson egyszerre fennáll és . Ez is és az a tény is, hogy míg befutja a kört, kétszer halad végig a szóbajövő szakaszán (a mértani helynek ez a része egyenes szakasszá fajuló ellipszisnek tekinthető), vagyis az pont, mint e mértani helynek és az a egyenesnek metszéspontja, kétszeresen számít, azt mutatja, hogy tulajdonképpen az megoldás is kétszeresen számít. |