Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1954/november, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kör minden pontjából húzzunk az $i$ egyenessel párhuzamos egyenest, messe ez $b$ -t a $B$ pontban, a kört pedig másodszor az $L$ pontban. $L$ -ből mérjük rá a $K L$ egyenesre mindkét irányban a $K B$ távolságot. A keletkező mértani helynek az $a$ egyenessel való metszéspontjaiban $i$ -vel párhuzamosan húzott egyenesek adják a feladat megoldásait.

3. ábra

Jelöljük az

i

-vel párhuzamos körérintőket

i_{0}

- és

i_{00}

-val, a

b

-nek a

i

irányra merőleges

t

körátmérőre vonatkozó tükörképét

b'

-vel.
Ha

K B

-vel ellentétes irányú

L B'

távolságokat mérünk fel (lásd az ábrán az

i_{2}

és

i_{3}

egyeneseken a

B'_{2}

ill.

B'_{3}

pontokat), akkor, ha a

K

végigfut a körön a

B'

pontok kétszer futják be a

b'

-n ennek

i_{0}

és

i_{00}

közti szakaszát. (Az ábrán a két végpontot nyíllal jelöltük.) Ennek a szakasznak az

a

egyenessel való

A_{1}

metszéspontján át ‐ ha van ilyen ‐ az

i

-vel párhuzamosan húzott

i_{1}

egyenes szolgáltatja a feladat egyik megoldását. (Nevezhetjük >>tükrös megoldás<<-nak, mert

K_{1} A_{1} = L_{1} B

egymásnak tükörképei

t

-re nézve.)
A mértani hely másik részét megkapjuk, ha az

i

-vel párhuzamos egyenesekre a

K B

szakaszokkal egyirányú

L B^{*}

távolságokat mérünk. Ha

K

befutja a teljes kört (tehát a

K

és

L

pontok felcserélődnek) a

B^{*}

pontok zárt görbét futnak be, mely görbéből minden

i_{0}

és

i_{00}

közti párhuzamoson 2‐2 pont fekszik. Ennek a görbének az

a

egyenessel lehetséges metszéspontjait

(A_{2} A_{3})

kellene megszerkeszteni. Erre azonban a talált mértani hely már nem alkalmas. Hasznát vehetjük azonban itt is a

b'

egyenesnek.
Tegyük fel, hogy az

A_{2}

-n átmenő

i_{2}

megoldás már meg van szerkesztve; ennek metszéspontja a körrel

K_{2}

és

L_{2}

, a

b

és

b'

egyenesekkel és

B_{2}

és

B'_{2}

, végül

K_{2} A_{2} = L_{2} B_{2}

és e távolságok egyirányúak. Mivel

b'

szerkesztése szerint

L_{2} B_{2} = K_{2} B_{2}'

, azért

K_{2} A_{2} = K_{2} B'_{2}

és e távolságok már ellentétes irányúak, azaz

K_{2}

A_{2} B'_{2}

szakasz felezőpontja. Így a

K_{2}

és hasonlóképpen a

K_{3}

is, rajta van azon a vonalon, melyet az

i_{0}

és

i_{00}

közti

i

-vel párhuzamos egyenesek

a

és

b'

közé eső szakaszainak felezőpontjai alkotnak. Tudjuk azonban, hogy ilyen szakaszt bárhol megrajzolva, a keletkező háromszögnek

s

súlyvonalán vannak az összes felezőpontok, tehát a súlyvonalnak az

i_{0}

és

i_{00}

közé eső szakaszán lesz az újabb mértani hely, melynek közös pontjai a körrel adják a

K_{2}

-t és

K_{3}

-at. (Ha

a

és

b

metszéspontja

M

a rajz keretén belül van, akkor az

M M'

szakasz felezőpontja

M_{0}

nyilván a

t

tengelyen van és az

A_{1} M_{0}

egyenes az

A_{1} M M' ▵

keresett

s

súlyvonala.) A

K_{2}

és

K_{3}

pontokon át

i

-vel húzott párhuzamosak

i_{2}

és

i_{3}

megoldások, amelyeken

K_{2} A_{2} = L_{2} B_{2}

ill.

K_{3} A_{3} = L_{3} B_{3}

egyirányúak. Ilyen fajta (nem tükrös) megoldások száma 2, 1 (2 egybeeső), ill. 0 aszerint, amint

s

két különböző pontban metszi a kört, érinti a kört, vagy nem metszi a kört.
Az összes megoldások száma tehát 3, 2, 1 vagy 0.

Megjegyzés: A

b^{*}

görbe úgy keletkezett az adott körből, hogy azt a

b'

egyenestől mindkét oldalon egy adott

i

irányban kétszeresre nyújtottuk. Ha speciálisan az egyenes átmérő és az irány erre merőleges (a nyújtás vagy zsugorítás pedig tetszés szerinti arányú), akkor a III. osztály tananyagában szerepel annak bizonyítása, hogy a körből így keletkező görbe ellipszis. A IV. reálosztályosok az ábrázoló-geometriai órákról azt is tudják, hogy tetszőleges egyenes, tetszőleges irányú és tetszőleges arányú nyújtás (vagy zsugorítás) esetén is, a kör ellipszisbe megy át, és a kör- és ellipszis-rendszer közötti geometriai rokonságot >>affinitás<<-nak hívjuk. A IV. reálosztályosok még azt is tudják, hogy pl. a tengelyeivel megadott ellipszisnek egy egyenessel való metszéspontjait úgy szerkeszthetjük meg, hogy az ellipszist affin vonatkozásba hozzuk egy körrel, az ellipszis-rendszerben megadott egyenesnek megszerkesztjük az affin megfelelőjét a körrendszerben, ez utóbbinak a körrel való metszéspontjait visszavisszük az ellipszis-rendszerbe. Jelen esetben tulajdonképpen az ellipszis-rendszerben megadott

a \equiv s^{*}

egyenesnek megszerkesztettük a körrendszerbe a megfelelőjét

s

-et,

1 : 2

arányú zsugorítással.
Figyeljük végül meg, hogy az

i_{1}

megoldáson egyszerre fennáll

K_{1} A_{1} = L_{1} B_{1}

és

K_{1} B_{1} = L_{1} A_{1}

. Ez is és az a tény is, hogy míg

K

befutja a kört,

B'

kétszer halad végig a

b'

szóbajövő szakaszán (a mértani helynek ez a része egyenes szakasszá fajuló ellipszisnek tekinthető), vagyis az

A_{1}

pont, mint e mértani helynek és az a egyenesnek metszéspontja, kétszeresen számít, azt mutatja, hogy tulajdonképpen az

i_{1}

megoldás is kétszeresen számít.