Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1954/október, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a keresett kifejezés értékét $X$ -szel. Mivel (2) alapján $A = - (B + C)$ , $B = - (A + C)$ és $C = - (A + B)$ , azért

\begin{matrix} X = a A^{2} + b B^{2} + c C^{2} = - [a A (B + C) + b B (A + C) + c C (A + B)] = \\ = - a A B - a A C - b B A - b B C - c C A - c C B = \\ = - A B (a + b) - B C (b + c) - C A (c + a) . \end{matrix}

De (1)-ből

a + b = - c

b + c = - a

c + a = - b

, és így a keresett

\begin{matrix} X = A B c + a B C + A b C = A B C (\frac{a}{A} + \frac{b}{B} + \frac{c}{C}) . \end{matrix}

A zárójelben lévő kifejezés értéke (3) alapján

0

, tehát

\begin{matrix} X = 0. \end{matrix}

II. megoldás: Kiindulhatunk az (1)-ből, amely szerint

a = - (b + c)

b =

= - (a + c)

és

c = - (a + b)

. Tehát

\begin{matrix} X & = a A^{2} + b B^{2} - c C^{2} = - (b + c) A^{2} - (a + c) B^{2} - (a + b) C^{2} = \\ = - a (B^{2} + C^{2}) - b (A^{2} + C^{2}) - c (A^{2} + B^{2}) = \\ = - a {(B + C)}^{2} - b {(A + C)}^{2} - c {(A + B)}^{2} + 2 a B C + 2 b A C + 2 c A B . \end{matrix}

De (3)-ból

A B C

-vel szorozva (

A

B

és

C

nem lehet

0

\begin{matrix} a B C + b A C + c A B = 0, \end{matrix}

(2)-ből

\begin{matrix} {(B + C)}^{2} = A^{2}, {(A + C)}^{2} = B^{2}, {(A + B)}^{2} = C^{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} X = - a A^{2} - b B^{2} - c C^{2} = - X, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} X = 0. \end{matrix}

III. megoldás:

(A + B + C) (a A + b B + c C) = 0

, mert az első tényező (2) alapján

0

. A baloldalt átalakítva és az (1) alatti egyenletet figyelembe véve

\begin{matrix} a A^{2} + b B^{2} + c C^{2} + A B (a + b) + B C (b + c) + C A (c + a) = \\ = X - A B c - B C a - C A b = 0. \end{matrix}

(3) alapján a baloldal utolsó három tagjának összege

0

(lásd II. megoldást) és így

\begin{matrix} X = 0. \end{matrix}