Feladat: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1954/november, 88 - 89. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Prímszámok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az egyik szám nyilván annyival kisebb az összeg felénél, amennyivel a másik az összeg felénél nagyobb. Mivel a két szám különbsége kisebb, mint 10000, ezért a keresett számok, ha 1731772=86858,5 helyébe m-et írunk, m-5000 és m+5000, vagyis 81859 és 91859 között vannak.
Keressük az első 1558-cal osztható számot a természetes számok sorában 81858 után. Mivel

52<818581558<53
azért 1558⋅53=82574=m-4284,5 az első szám, a szóban forgó számközben, mely osztható 1558-cal. Az m-4284,5 számnak párja m+4284,5 s így a különbség 2⋅4284,5=8569. A következő két megfelelő számpár különbsége nyilván 8569-2⋅1558=5453, végül az utolsó számpár különbsége 5453-3116=2337.
2337-nek és 5453-nak van egyjegyű osztója (3 illetőleg 7), azonban 8569(=11⋅19⋅41)-nek nincs egyjegyű osztója, és így az egyetlen megoldás 82574 és 82574+8569=91143.
 

II. megoldás: Az összeg és az egyik szám minden közös osztója osztja a másik számot is, és így osztója a két szám különbségének.
Tehát (173717, 1558)=779=19⋅411 a két szám különbségének is osztója.
Tehát a különbség 19⋅41⋅k alakú, ahol k nem tartalmazhat egyjegyű törzstényezőt.
Mivel a feladat szerint 1000≤19⋅41⋅k≤9999, azért
1000779≤k≤9999772=12,...,
vagyis
2≤k≤12.

Tehát feltételeinknek csak a k=11 érték felel meg, és így a különbség
779⋅11=8569.
Ha a keresett két számot x és y-nal jelöljük, akkor
x+y=173717,x-y=178569,
amiből
x=91143(=3⋅13⋅19⋅41)y=82574(=2⋅19⋅41⋅53).

1Ilyenkor a zárójel jelenti a zárójelbe foglalt, vesszővel elválasztott számok legnagyobb közös osztóját.