Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1954/november, 86 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A baloldalakat polinommá alakítva

\begin{matrix} x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3} = a, & (1) \\ x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} = b & (2) \end{matrix}

egyenletekhez jutunk. Miután mind a két egyenlet harmadfokú és az egyik sem látszik alacsonyabb fokúra redukálhatónak, az egyenletrendszer megoldásánál majd köbgyökvonást kell végeznünk. Arra törekszünk tehát, hogy a változók lehető egyszerű kifejezésének teljes köbét állítsuk elő.
Összeadva (1)-et és (2)-t, továbbá osztva kettővel

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

(3)

A baloldalt

3 x^{2} y + 3 x y^{2}

egészítené ki

(x + y)

köbére. Vegyük észre, ha kivonjuk (2)-t, éppen ilyen alakú kifejezéshez jutunk:

\begin{matrix} 2 x^{2} y + 2 x y^{2} = a - b . \end{matrix}

Mindkét oldalt

\frac{3}{2}

-vel szorozva nyerjük

\begin{matrix} 3 x^{2} y + 3 x y^{2} = \frac{3 (a - b)}{2} \end{matrix}

(4)

(3) és (4) összege

\begin{matrix} x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} = {(x + y)}^{3} = \frac{a + b + 3 a - 3 b}{2} = 2 a - b . \end{matrix}

Köbgyököt vonva

\begin{matrix} x + y = \sqrt[^{3}]{2 a - b} . \end{matrix}

(5)

Másrészt (4)-et így alakíthatjuk át:

\begin{matrix} x y (x + y) = \frac{a - b}{2}, \end{matrix}

melybe

x + y

(5) alatt nyert értékét behelyettesítve,

\begin{matrix} x y = \frac{a - b}{2 \sqrt[^{3}]{2 a - b}} . \end{matrix}

(6)

Eszerint

x

és

y

a következő másodfokú egyenlet gyökei

\begin{matrix} z^{2} - \sqrt[^{3}]{2 a - b} \cdot z + \frac{a - b}{2 \sqrt[^{3}]{2 a - b}} = 0. \end{matrix}

Megoldva az egyenletet:

\begin{matrix} z_{1} = x_{1} = y_{2} = \frac{\sqrt[^{3}]{2 a - b} + \sqrt[]{\sqrt[^{3}]{{(2 a - b)}^{2}} - \frac{2 (a - b)}{\sqrt[^{3}]{2 a - b}}}}{2}, \\ z_{2} = x_{2} = y_{1} = \frac{\sqrt[^{3}]{2 a - b} - \sqrt[]{\sqrt[^{3}]{{(2 a - b)}^{2}} - \frac{2 (a - b)}{\sqrt[^{3}]{2 a - b}}}}{2} . \end{matrix}

II. megoldás: Vezessünk be új változókat. Legyen

\begin{matrix} x + y = u, és x y = v . \end{matrix}

Az új változók behelyettesítése céljából átalakítjuk egyenleteinket

\begin{matrix} (x + y) (x^{2} + y^{2}) = (x + y) [{(x + y)}^{2} - 2 x y] = a \\ (x - y) (x^{2} - y^{2}) = {(x - y)}^{2} (x + y) = [{(x + y)}^{2} - 4 x y] (x + y) = b . \end{matrix}

Elvégezve a behelyettesítést

\begin{matrix} u (u^{2} - 2 v) = u^{3} - 2 u v = a, & (1) \\ (u^{2} - 4 v) u = u^{3} - 4 u v = b . & (2) \end{matrix}

Vonjuk ki (1) kétszereséből (2)-őt

\begin{matrix} u^{3} = 2 a - b; u = \sqrt[^{3}]{2 a - b} = x + y \end{matrix}

(3)

(1)-ből kifejezzük

v

-t

u

-val, majd behelyettesítjük

u

-nak (3)-ból nyert értékét

\begin{matrix} v = \frac{u^{3} - a}{2 u} = \frac{a - b}{2 \sqrt[^{3}]{2 a - b}} = x y . \end{matrix}

(4)

Minthogy (3) és (4) megegyezik az I. megoldás (5) és (6) egyenletével az I. megoldás szerint számolhatunk tovább.

Megjegyzés: Mindkét adott függvény az

x

és

y

szimmetrikus kifejezése, amin azt értjük, hogy

x

és

y

felcserélésével változatlan marad. Az

u = x + y

és

v = x y

kifejezéseket a két változó elemi szimmetrikus kifejezéseinek nevezzük. Bebizonyítható, hogy bármely szimmetrikus kifejezés pusztán a négy alapművelet segítségével kifejezhető az elemi szimmetrikus kifejezésekkel, mégpedig egyértelműen. A II. megoldásban ezt tettük.