Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1954/október, 35 - 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen adva a $d = a + b$ távolság és a $γ$ szög. Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra).

1. ábra

Ha az

a = B C

oldalt

C

-n túl

b

-vel meghosszabbítjuk:

C D = b

és így

B D = a + b = d

.
Az

A D C

egyenlőszárú háromszögnek a

C

csúcsnál fekvő külső szöge

γ

, és így az

A D B ∢ = \frac{γ}{2}

.
A szerkesztés kiindulása tehát: Az adott

d = B D

távolság

D

végpontjában felmérjük az adott

γ

szög felét. Az így nyert száron lesz rajta az

A

pont. A

c = A B

oldal pedig akkor lesz minimális, ha

B A ⊥ A D

. A szerkesztés következő lépése tehát: a

B

-ből a

\frac{γ}{2}

szög megszerkesztett szárára bocsátott merőleges metszi ki az utóbbiból a keresett

A

csúcspontot. A szerkesztés befejező része: az

A D

szakaszt merőlegesen felező egyenes, amely fentiek szerint párhuzamos

A B

-vel, metszi ki

B D

-ből a

C

csúcspontot, amely e szerint felezőpontja a

B D

-nek, vagyis

a = b

II. megoldás: Az előbbiek alapján a legegyszerűbb szerkesztés a következő: a

C

csúcspontú

γ

szög száraira rámérjük a

\frac{d}{2} = C A = C B

távolságot (2. ábra).

2. ábra