Kezdőlap


Feladat:	1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1954/október, 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/szeptember: 1954. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek a számok: $a$ , $a + 1$ , $a + 2$ , $a + 3$ , ahol $a \geq 1$ . Feladatunk tehát az

\begin{matrix} a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 \end{matrix}

kifejezést polinommá alakítani és arról kimutatni, hogy ez egy másik polinom négyzete.

\begin{matrix} (a^{2} + a) (a^{2} + 5 a + 6) + 1 = a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 1. \end{matrix}

Ez a polinom csak olyan háromtagú polinom négyzeteként keletkezhetett, amelynek első tagja

a^{2}

és harmadik tagja

1

. A középső tagját,

x

-et, meg kell határozni.

\begin{matrix} {(a^{2} + x + 1)}^{2} = a^{4} + 2 a^{2} x + x^{2} + 2 a^{2} + 2 x + 1. \end{matrix}

A nyert kifejezést összehasonlítva polinomunkkal nyerjük, hogy

x = 3 a

esetén a két polinom tagról-tagra megegyezik, tehát

\begin{matrix} a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 = {(a^{2} + 3 a + 1)}^{2} . \end{matrix}

II. megoldás: Ügyesebb a szorzatot úgy csoportosítani, hogy az első és utolsó, továbbá a két középső tényezőt szorozzuk össze:

\begin{matrix} a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 = (a^{2} + 3 a) (a^{2} + 3 a + 2) + 1 = \\ = {(a^{2} + 3 a)}^{2} + 2 (a^{2} + 3 a) + 1 = {(a^{2} + 3 a + 1)}^{2} . \end{matrix}