Kezdőlap


Feladat:	1953. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1953/október, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 1953. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vigyük át az első egyenlet baloldaláról az utolsó tagot a jobboldalra:

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b + c} - \frac{1}{c}, \frac{a + b}{a b} = \frac{- (a + b)}{c (a + b + c)} . \end{matrix}

Redukáljuk az egyenletet 0-ra és emeljük ki (

a + b

)-t:

\begin{matrix} (a + b) (\frac{1}{a b} + \frac{1}{c (a + b + c)}) = \frac{(a + b) [a b + (a + b) c + c^{2}]}{a b c (a + b + c)} = \\ = \frac{(a + b) (a + c) (b + c)}{a b c (a + b + c)} = 0. \end{matrix}

Ez csak úgy lehet 0, ha a számláló 0. Teljesen hasonlóan a második egyenlet

\begin{matrix} \frac{(a^{n} + b^{n}) (b^{n} + c^{n}) (c^{n} + a^{n})}{a^{n} b^{n} c^{n} (a^{n} + b^{n} + c^{n})} = 0 \end{matrix}

alakba írható. Mivel páratlan pozitív egész

n

-re

\begin{matrix} u^{n} + v^{n} = (u + v) (u^{n - 1} - u^{n - 2} v + ... - u v^{n - 2} + v^{n - 1}), \end{matrix}

azért a számláló osztható az

\begin{matrix} (a + b) (b + c) (c + a) \end{matrix}

szorzattal, így a második egyenlőség is teljesül, ha az első teljesül.

II. megoldás: Az első egyenletet átalakítva

\begin{matrix} \frac{a b + b c + c a}{a b c} = \frac{1}{a + b + c}, vagyis (a + b + c) (a b + b c + c a) = a b c . \end{matrix}

Írjunk fel egy olyan egyenletet, melynek gyökei

a

b

és

c

\begin{matrix} 0 = (x - a) (x - b) (x - c) = x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x - a b c = \\ = x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x - (a + b + c) (a b + b c + c a) = \\ = x^{2} [x - (a + b + c)] + (a b + b c + c a) [x - (a + b + c)] = \\ = [x - (a + b + c)] [x^{2} + (a b + b c + c a)] . \end{matrix}

Az első alakról látható, hogy ez csak akkor teljesülhet, ha

x

megegyezik

a

b

c

valamelyikével, az utolsóból viszont következik, hogy a kifejezés eltűnik, ha

x = a + b + c

, tehát utóbbinak meg kell egyeznie az előbbiek valamelyikével pl.

\begin{matrix} a + b + c = a, c = - b, \end{matrix}

s így páratlan egész

n

-re

\begin{matrix} \frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} - \frac{1}{b^{n}} = \frac{1}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + {(- b)}^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + c^{n}} \end{matrix}

is teljesül.