Kezdőlap


Feladat:	1953. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1953/október, 36 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 1953. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Bontsuk törzstényezőkre az osztót:

\begin{matrix} 61 875 = 3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 11 = 9 \cdot 11 \cdot 625. \end{matrix}

Mivel itt az egyes tényezők páronként relatív primek, azért ahhoz, hogy a keresett szám e szorzattal osztható legyen szükséges és egyben elegendő is, hogy az egyes tényezők külön maradék nélkül meg legyenek benne.
625-tel azok és csak azok a számok oszthatók, amelyeknek utolsó 4 jegyéből álló szám is osztható 625-tel. (L. >>K. M. L.<< 1953. márciusi számában a 88. oldalon a 70. sz. gyakorlatot.) 625-nek 4000 és 4999 közt csak egy többszöröse van:

\begin{matrix} 7 \cdot 625 = 4375, tehát 4 z u v = 4375. \end{matrix}

9-cel osztva minden szám ugyanazt a maradékot adja, mint a számjegyeinek összege, tehát kell, hogy

\begin{matrix} x + 6 + 1 + y + 0 + 6 + 4 + 3 + 7 + 5 = x + y + 32 = 9 m . \end{matrix}

11-gyel osztva minden szám ugyanannyi maradékot ad, mint az a szám, amelyet kapunk, ha az egyesektől kezdve, minden második számjegyet összeadunk és ebből az összegből levonjuk a kihagyott számjegyek összegét (L. >>K. M. L.<< 1953. márciusi számában a 81. oldalon a 475. sz. feladatot.) Jelen esetben

\begin{matrix} (5 + 3 + 6 + y + 6) - (7 + 4 + 0 + 1 + x) = (20 + y) - (12 + x) = \\ = 8 + y - x = 11 n . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x + y = 9 m - 32 és - x + y = 11 n - 8. \end{matrix}

Itt

x

és

y

egyjegyű számok, tehát

\begin{matrix} 0 \leq x + y \leq 18, - 9 \leq - x + y \leq 9, \end{matrix}

és így

m = 4

vagy

5

n = 0

vagy

1

. Mivel pedig két egész szám összege és különbsége közül nem lehet az egyik páratlan, a másik páros, így

m = 4

n = 0

vagy

m = 5

n = 1

felelhet meg. Első esetben

y

-ra negatív szám adódnék, tehát csak

x + y = 13

és

- x + y = 3

lehetséges, ahonnan

x = 5

és

y = 8

.
A keresett szám tehát

\begin{matrix} 5 618 064 375, \end{matrix}

és ennek valóban oszthatónak kell lennie 61 875-tel, mert az utolsó 3 jegy választása folytán osztható 625-tel,

x

és

y

megválasztása folytán pedig osztható 9-cel és 11-gyel.

II. megoldás: Ha a szám osztható 61 875-tel, akkor pl. a 16-szorosa osztható

16 \cdot 61 875 = 990 000

-rel, tehát minden esetre négy 0-val végződik. A kérdéses szám utolsó négy számjegye

4 \cdot 16 = 64

folytán megegyezik a

\begin{matrix} 4000 + 16 \cdot z u v \end{matrix}

szánt utolsó négy jegyével. Mivel

16 \cdot z u v < 16 000

, tehát csak úgy kaphatunk négy 0-ra végződő számot, ha

\begin{matrix} 16 \cdot z u v = 6000, vagyis z u v = 375. \end{matrix}

A keresett szám 16-szorosának ezenkívül még 99-cel kell oszthatónak lennie. Mivel 16 és 99 relatív primek, ez csak akkor következik be, ha az eredeti szám is osztható 99-cel. 99-re viszont egyszerű oszthatósági szabály található. (L. >>K. M. L.<< 1953. áprilisi számában a 118. oldalon a 74. sz. gyakorlatot.) Mivel

\begin{matrix} 100 = 99 + 1, 10 000 = 99 \cdot 101 + 1, 1 000 000 = 99 \cdot 10 101 + 1, \\ 100 000 000 = 99 \cdot 1 010 101 + 1, ... \end{matrix}

ezért a keresett szám ugyanannyi maradékot ad 99-cel osztva, mint a következő kétjegyű számok összege:

\begin{matrix} x 6 + 1 y + 06 + 43 + 75 = x y + 140. \end{matrix}

Ez a szám 140-nél nagyobb, 240-nél kisebb, tehát csak úgy lehet 99-cel osztható, ha

2 \cdot 99 = 198

-cal egyenlő, mely esetben

\begin{matrix} x y = 58, tehát x = 5, y = 8, \end{matrix}

és így a keresett szám

\begin{matrix} 5 618 064 375, \end{matrix}

és ez valóban osztható 61 875-tel, mert osztható 99-cel, tehát a 16-szorosa is osztható vele, és a 16-szorosa ezenkívül négy 0-val végződik. Tehát 990 000-rel osztható a szám 16-szorosa és így az eredeti mindenesetre osztható ennek 16-odával, 61 875-tel.