Kezdőlap


Feladat:	1953. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1953/október, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 1953. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A változók egyike sem lehet 0, így a törtek eltávolíthatók és a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} 2 x y + 2 x z - y z = 1, 3 x y + 2 x z - y z = 0, x z + y z = - 1. \end{matrix}

Ez elsőfokú egyenletrendszer, ha

x y

x z

y z

-t tekintjük ismeretlennek. A második egyenletet levonva az elsőből, majd az egymásutáni egyenleteket

3

- 2

1

-gyel, végül pedig

3

- 2

- 2

-vel szorozva és összeadva kapjuk sorra, hogy

\begin{matrix} x y = - 1, x z = \frac{2}{3}, y z = - \frac{5}{3} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x^{2} = \frac{x y \cdot x z}{y z} = \frac{2}{5} y^{2} = \frac{x y \cdot x y}{x z} = \frac{5}{2}, z^{2} = \frac{x z \cdot y z}{x y} = \frac{10}{9} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + x z + y z) = \\ = \frac{2}{5} + \frac{5}{2} + \frac{10}{9} + 2 (- 1 + \frac{2}{3} - \frac{5}{3}) = \frac{1}{90} . \end{matrix}

II. megoldás: A harmadik egyenletből

x + y

értékét behelyettesítve

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} = {(z - \frac{1}{z})}^{2} = z^{2} + \frac{1}{z^{2}} - 2, \end{matrix}

így elég

z^{2}

értékét meghatároznunk. Az egyenleteknek az előző megoldásban szereplő alakját használva adjuk, össze az első és utolsó egyenletet:

\begin{matrix} 2 x y + 3 x z = 0, y = - \frac{3}{2} z . \end{matrix}

Ezt a második egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} - \frac{9}{2} x z + 2 x z + \frac{3}{2} z^{2} = 0, innen x = \frac{3}{5} z . \end{matrix}

A nyert értékeket az első egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} - \frac{9}{5} z^{2} + \frac{6}{5} z^{2} + \frac{3}{2} z^{2} = 1, z^{2} = \frac{10}{9}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} = \frac{10}{9} + \frac{9}{10} - 2 = \frac{1}{90} . \end{matrix}