|
Feladat: |
1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Füzet: |
1952/október,
39 - 41. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek szerkesztése, Körülírt kör, Beírt kör, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek, Egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Hozzáírt körök, Arany Dániel |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1952/október: 1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. Legyen az adott szög a háromszög köré írt kör középpontja és sugara , beírt kör középpontja és sugara . (1. ábra). 1. ábra A -ből . A kerületi szögek tétele alapján a középpontú és sugarú körben tetszőleges a kerületi szög szárainak a körrel való metszéspontjai megadják a háromszög oldalát. Az pont ‐ a fentiek szerint ‐ rajta van azon a köríven, melynek pontjaiból a távolság szög alatt látszik és amely körív a oldalnak ugyanazon az oldalán van, mint az szög csúcspontja. E látószög-kör középpontját -vel jelölve, a központi és kerületi szög közötti összefüggés alapján | | (1) | vagyis az négyszög húrnégyszög és így a pont a ív felezőpontja. Egy másik geometriai hely -ra nézve a egyenestől távolságban a -vel párhuzamosan húzott egyenes, a egyenesnek ugyanazon az oldalán, mint az előbbi körív. A két mértani hely egyik metszéspontja a keresett pont. körül sugárral rajzolt körhöz a és pontokból szerkesztett érintők metszéspontja (amely rajta van a köré írt körön) a keresett háromszög harmadik csúcspontja. (Általában két pontot kapunk számára, de mindkettő egybevágó háromszögekre vezet, tehát csak egy megoldásról beszélünk.) Határozzuk meg a megoldhatóság feltételeit. Jelöljük az oldal felezőpontját -gyel és a egyenesnek metszéspontját a látószög-körívvel, -val. Megoldás nyilván csak akkor van, ha Mivel (1) alapján az , azért és amiből | | | | Tehát megoldás csak akkor van, ha Egyenlőség esetén és a háromszög egyenlő szárú . Állandó esetén a jobboldal akkor [maximális, ha maximális. Egy szorzat pedig, amelyben a tényezők összege állandó, akkor veszi fel a legnagyobb értéket, ha a tényezők egyenlők, vagyis , amiből és maximális értéke tehát és ezt akkor veszi fel, ha és azonkívül , vagyis a háromszög egyenlő oldalú. L. >>K. M. L<< I. évf. 1948. május , 167. sz. feladat.) II. megoldás: Felhasználjuk ezt a tételt (I. osztályos tankönyv 1950‐es kiadás, 285. oldal), mely szerint egy háromszög beírt és hozzáírt körének egy-egy közös külső érintő oldalon lévő két érintési pontjának távolsága egyenlő a harmadik oldallal, amely a fenti két kör közős belső érintőjének a külső érintők közé eső szakasza. 2. ábra Eszerint a szerkesztés menete: a háromszög oldal szerkesztése ugyanúgy történik, mint az I.megoldásban. Felvesszük az szöget és szerkesztünk egy sugarú, mindkét szárt érintő kört (2. ábra). Az egyik szögszáron az érintés: pontból kiindulva felmérjük ‐ a szög csúcspontjától távolodó irányban ‐ az távolságot. Az így nyert pont lesz az említett tétel alapján a hozzáírt. kör érintési pontja. A beírt és hozzáírt kör egy közös belső érintője metszi ki az szög száraiból a és csúcspontokat. A megoldhatóság feltétele: a hozzáírt kör középpontját -gyel és sugarát -gyel jelölve, feladatunk csak akkor oldható meg, ha . De és így feltételünk amiből , ami megegyezik az I. megoldásból nyert feltétellel
|
|