Kezdőlap


Feladat:	1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1952/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Teljes indukció módszere, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) Ha $n$ 3-mal osztható, akkor nyilvánvaló, hogy szorzatunk is osztható 3-mal. Ha $n$ 3-mal nem osztható, akkor $5 n$ sem osztható 3-mai, és így $5 n - 1$ és $5 n + 1$ közül az egyik osztható 3-mal, mert három egymásután következő szám: $5 n - 1$ , $5 n$ , $5 n + 1$ közül az egyik feltétlenül osztható 3-mal.
b) Ha $n$ páros, akkor $n$ és $n + 2$ , ha pedig $n$ páratlan, akkor $5 n - 1$ és $5 n + 1$ két egymás után következő páros szám. Két egymásután következő páros szám közül az egyik mindig osztható 4-gyel és így szorzatunk mindig osztható $2 \cdot 4 = 8$ -cal.
Mind a), mind b) alatt az összes lehetséges eseteket kimerítettük és így bebizonyítottuk, hogy szorzatunk $n$ minden egész számú értéke mellett osztható 3-mal is és 8-cal is, mivel pedig e két számnak nincs közös osztója, tehát a szorzatukkal $3 \cdot 8 = 24$ -gyel is.

II. megoldás: Teljes indukció is célra vezet.

n = 1

-re

1 \cdot (1 + 2) (5 - 1) (5 + 1) = 3 \cdot 24

osztható 24-gyel.
Tegyük fel, hogy valamilyen

n = k

értékre már igazoltuk az állítás helyességét, azaz

\begin{matrix} k (k + 2) (5 k - 1) (5 k + 1) = 25 k^{4} + 50 k^{3} - k^{2} - 2 k = 24 A, \end{matrix}

ahol

A

valamilyen egész szám.

k

helyébe

(k + 1)

-et téve:

\begin{matrix} (k + 1) (k + 3) (5 k + 4) (5 k + 6) = 25 k^{4} + 150 k^{3} + 299 k^{2} + 246 k + 72 = \\ = & 100 k^{3} + 300 k^{2} + 248 k + 72 + 25 k^{4} + 50 k^{3} - k^{2} - 2 k = \\ = & 24 (4 k^{3} + 12 k^{2} + 10 k + 3) + 4 k^{3} + 12 k^{2} + 8 k + 24 A = \\ = & 24 B + 4 k (k^{2} + 3 k + 2) + 24 A = \\ = & 24 (A + B) + 4 k (k + 1) (k + 2) \end{matrix}

Mivel

k (k + 1) (k + 2)

, mint 3 egymásra következő szám szorzata osztható

2 \cdot 3 = 6

-tal, azért a nyert kéttagú összegünk második tagja is osztható

4 \cdot 6 = 24

-gyel. Tehát ha tételünk

n = k

-ra igaz, akkor

n = (k + 1)

-re is igaz, de

n = 1

-re igaz és így minden

n

egész számra fennáll.

III. megoldás:

\begin{matrix} n (n + 2) (5 n - 1) (5 n + 1) = n (n + 2) (25 n^{2} - 1) = \end{matrix}

\begin{matrix} = n (n + 2) [24 n^{2} + (n 2 - 1)] = 24 n^{3} (n + 2) + (n - 1) n (n + 1) (n + 2) . \end{matrix}

Az első tag nyilván osztható 24-gyel, a második tag pedig 4 egymásra következő szám szorzata. Ezek közt van mindig 3-mal osztható és van két egymásutáni páros tényező, melyek közül valamelyik így 4-gyel is osztható. Szorzatunk tehát osztható

3 \cdot 2 \cdot 4 = 24

-gyel.

A versenyzők legnagyobb része diszkusszióval (I. megoldás) oldotta meg a feladatot, de gyakran nagyon hosszadalmasan. Volt olyan versenyző is, aki

n

-nek 24-gyel való osztásából adódó teljes

0

1

2 ...

, 23 maradéksorra külön-külön bizonyított.