Kezdőlap


Feladat:	1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1952/október, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A $x$ perc alatt. $B$ $y$ perc alatt tesz meg 1 km-t.
Az első kisérletnél A $5 x$ perc alatt 5 km-t, $B$ pedig 1 perccel hosszabbidő alatt 4 km-t tesz meg,
tehát $5 x + 1 = 4 y$ . (1)

A második kísérletnél

B

5 y

perc alatt fut be 5 km-t, míg

A

8 perccel rövidebb idő alatt 4 km-t,
tehát

5 y - 8 = 4 x

vagyis

4 x + 8 = 5 y

. (2)

(2)-ből (1)-et kivonva

\begin{matrix} y = 7 - x . \end{matrix}

y

ezen értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} 5 x + 1 = 28 - 4 x, \end{matrix}

amiből

x = 3 és így y = 7 - x = 4

.
Tehát az 5000 m-es távot

A

15,

B

20 perc alatt futja be.

II. megoldás: A 5 km-t

x

perc alatt, tehát 1 km-t

\frac{x}{5}

perc alatt fut be.
Az első kísérletnél

B

4 km-t

(x + 1)

perc alatt tesz meg, tehát 1 km-t

\frac{x + 1}{4}

perc alatt.
A második kísértetnél

B

5 km-t

\frac{5 (x + 1)}{4}

perc alatt,

A

pedig 4 km-t

\frac{4 x}{5}

perc alatt fut be és a feladat szerint

\begin{matrix} \frac{5 (x + 1)}{4} = \frac{4 x}{5} + 8, \end{matrix}

amiből

x = 15

perc.

B

ideje 5 km-re pedig

\frac{5 (x + 1)}{4} = 20

perc.

III. megoldás: A két futamban együttesen mindkét versenyző 9 km-t tesz meg, de

A

9 perccel rövidebb ideig fut.
Tehát A 1 km-t 1 perccel rövidebb idő alatt tesz meg, mint

B

. Az első versenyen

A

így 4 km-en 4 perc előnyt szerez és mivel 1 perccel győz, az első km megtétele 3 percig tart,

B

tehát 4 perc alatt tesz meg 1 km-t. Vagyis

A

15 percig,

B

20 percig fut 5 km-t.