Kezdőlap


Feladat:	1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1952/október, 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az $u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - u v + v^{2})$ azonosság alapján törtünk nevezője

\begin{matrix} {(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3} = \\ = & (x - y + y - z) [{(x - y)}^{2} - (x - y) (y - z) + {(y - z)}^{2}] + {(z - x)}^{3} = \\ = & (x - z) [(x - y) (x - y - y + z) + {(y - z)}^{2} - {(z - x)}^{2}] = \\ = & (x - z) [(x - y) (x - 2 y + z) + (y - z + z - x) (y - z - z + x)] = \\ = & (x - z) [(x - y) (x - 2 y + z) - (x - y) (y - 2 z + x)] = \\ = & (x - z) (x - y) (x - 2 y + z - y + 2 z - x) = \\ = & (x - z) (x - y) (3 z - 3 y) = 3 (x - y) (y - x) (z - x) . \end{matrix}

Hasonlóképpen a számláló

\begin{matrix} {(x^{2} - y^{2})}^{3} + {(y^{2} - z^{2})}^{3} + {(z^{2} - x^{2})}^{3} = 3 (x^{2} - y^{2}) (y^{2} - z^{2}) (z^{2} - x^{2}) \end{matrix}

Az adott tört tehát

\begin{matrix} \frac{3 (x^{2} - y^{2}) (y^{2} - x^{2}) (z^{2} - x^{2})}{3 (x - y) (y - z) (z - x)} = (x + y) (y + z) (z + x) . \end{matrix}

II. megoldás: Tekintsük a nevezőt

x

polinomjaként. A polinommá átalakítás tényleges elvégzése nélkül is könnyen látható, hogy másodfokú polinomot kapunk, mert az első és harmadik kifejezésből adódó

x^{3}

-os tagok összege 0-t ad. Ennek a polinomnak 0 helyei

x = y

és

x = z

, ami behelyettesítéssel azonnal látható. Így a nevező gyöktényezős előállítása azonos az

(x - y) (x - z)

szorzatnak és az

x^{2}

-es tag együtthatójának szorzatával. Az első és harmadik kifejezésből

x^{2}

együtthatója

- 3 y + 3 z = 3 (z - y)

; tehát a nevező azonos a

\begin{matrix} 3 (x - y) (x - z) (z - y) \end{matrix}

szorzattal. Ebből megkapjuk a számlálót, ha

x

y

z

helyett

x^{2}

y^{2}

z^{2}

-et írunk, tehát a keresett tört:

\begin{matrix} \frac{3 (x^{2} - y^{2}) (x^{2} - z^{2}) (z^{2} - y^{2})}{3 (x - y) (x - z) (z - y)} = (x + y) (y + z) (z + x) . \end{matrix}

III. megoldás: A számláló és nevező olyan három szám köbének összege, amely három szám összege 0. Ha pedig

a + b + c = 0

, akkor kimutatható, hogy

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \end{matrix}

Ugyanis, ha

\begin{matrix} a + b = - c \end{matrix}

akkor köbre emelve

\begin{matrix} a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{2} = - c^{3} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} = - 3 a b (a + b) = - 3 a b (- c) = 3 a b c . \end{matrix}

E segédtétel egyébként közvetlenül adódik a következő azonosságból is:

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) \end{matrix}

Ennek alapján kifejezésünk így írható:

\begin{matrix} \frac{3 (x^{2} - y^{2}) (y^{2} - z^{2}) (z^{2} - x^{2})}{3 (x - y) (y - z) (z - x)} = (x + y) (y + z) (z + x) . \end{matrix}