Feladat: 1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1952/október, 35. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Thalesz-kör, Tengelyes tükrözés, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/október: 1952. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. Jelöljük az adott kör középpontját O-val és az adott AP-PB távolságot d-vel.

 
 
1. ábra
 

A keresett AB húrra merőleges átmérő ‐ egy megoldást tekintve ‐ az ábra szimmetria tengelye. Ha az AB húron A pontbál felmérjük a PB=AP* távolságot, akkor az így nyert P* pont nyilván a P pont tükörképe a fenti átmérőre nézve és AP-PB=AP-AP*=P*P=d (1: ábra).
Eszerint a szerkesztés menete: az O körül PO sugárral rajzolt koncentrikus körben megszerkesztjük a PP*=PP*=d húrokat. E húrok meghosszabbításai adják az AB és A'B' megoldásokat.
A megoldások száma 2, 1, 0 aszerint, amint d⋚2⋅OP. Ha d=0, akkor a két megoldás egybeolvad az OP-re merőleges húrrá.
 

II. megoldás: Jelölés mint az I. megoldásban. A PP* felezőpontja F egyszersmind az AB felezőpontja, tehát OF⊥FP és így az F pont rajta van az OP fölé, mint átmérö fölé rajzolt Thales-körön, továbbá PF=PF'=d2. (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A megoldhatóság feltétele, hogy d2≦OP, ami megegyezik az I. megoldásban talált eredménnyel.
Többen azzal próbálkoztak, hogy BP-t az AP-ből a P-től számítva mérték vissza. Így mértani helyül a kör P-re vonatkozó centrális tükörképét kapták. Ezzel azonban nehezebb feladathoz jutottak: két egyenlő sugarú, egymást metsző kör közös húrjának felezőpontján át olyan szelőt húzni, melynek az adott körök különböző ívei közé eső szakasza adott hosszúságú.