Feladat: 1992. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kós Géza 
Füzet: 1993/január, 4 - 5. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt kör, Hozzáírt körök, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Egyenes, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: 1992. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a C kör E-ből induló átmérőjének másik végpontja F, és C-nek az F-beli érintője e. Egy tetszőleges P ponthoz pontosan akkor léteznek l-en olyan Q,R pontok, amelyekre C a PQR háromszög beírt köre, ha P e-nek az l-et tartalmazóval ellentétes partjára esik.

 
 

Legyen P tetszőleges pont e-nek az l-lel ellentétes partján. A P-ből C-hez húzott érintők és l metszéspontjai legyenek Q és R. Azt kellene megállapítanunk, hogy M milyen P esetén felezőpontja QR-nek.
Legyen G az l és a PF egyenesek metszéspontja. Nagyítsuk fel P-ből C-t úgy, hogy F képe G, azaz e képe l legyen.
Mivel C képe is érinti a PQ és PR egyeneseket, valamint l-et a P-vel ellentétes oldalán, C képe éppen a PQR háromszögnek a QR oldalhoz hozzáírt köre.
Ismeretes, hogy ha egy háromszög oldalai a, b és c, félkerülete s, akkor a beírt kör érintési pontja a c oldalt úgy osztja ketté, hogy az a oldal melletti szakasz hossza s-b, a b oldal melletti szakasz hossza s-a, a c oldalhoz hozzáírt kör érintési pontja pedig úgy osztja ketté, hogy az a oldal melletti szakasz hossza s-a, a b oldal melletti szakasz hossza s-b.
Ebből következik, hogy QE=GR (és QG=ER). Ezért M pontosan akkor felezőpontja QR-nek, ha EG-nek is felezőpontja.
A megfelelő P pontok halmazát tehát a következőképpen kaphatjuk meg: Legyen G az E pont tükörképe M-re. A keresett halmaz a GF szakasznak az F-en túli meghosszabbítása, egy nyílt félegyenes.