Feladat: 1992. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kós Géza 
Füzet: 1993/január, 2 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Indirekt bizonyítási mód, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: 1992. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha f(x)=x minden x valós számra, akkor (1) nyilván teljesül. Be fogjuk bizonyítani, hagy ez az egyetlen megoldás.
Először megmutatjuk, hogy f bijektív, azaz minden valós számot pontosan egyszer vesz fel. Ha c tetszőleges valós szám, akkor (1)-be y=(c-(f(x))2)-et írva látjuk, hogy f felveszi a c értéket. Azt kell még igazolnunk, hogy különböző számokhoz különböző értéket rendel. Legyen y1 és y2 két különböző szám és x tetszőleges. Az (1) azonosság alapján

f(x2+f(y1))=y1+(f(x))2
és
f(x2+f(y2))=y2+(f(x))2.
Ha f(y1)=f(y2) lenne, akkor a bal oldalon mindkét egyenletben ugyanaz a szám állna. Ez viszont ellentmond annak, hogy a jobb oldalak különbözőek. Tehát f(y1)≠f(y2), a függvény valóban bijektív.
Másodszor bebizonyítjuk, hogy a függvény páratlan, azaz minden x valós számra f(-x)=-f(x), speciálisan f(0)=0. Legyen x≠0, y pedig tetszőleges. Írjuk fel az (1) azonosságot az x,y és a -x,y számpárokra:
f(x2+f(y))=y+(f(x))2,f(x2+f(y))=y+(f(-x))2.

Mivel a bal oldalak megegyeznek, (f(x))2=(f(-x))2, amiből |f(x)|=|f(-x)|; másrészt f bijektív volta miatt f(x)≠f(-x). Ezekből pedig az következik, hogy f(-x)=-f(x)≠0. Látjuk, hogy f a 0-t a 0-n kívül máshol nem veheti fel, ezért f(0) csak 0 lehet; f tehát tényleg páratlan.
Most írjunk (1)-ben x helyére 0-t; azt kapjuk, hogy tetszőleges y-ra f(f(y))=y.
Megmutatjuk még, hogy f monoton nő, azaz ha a≤b két valós szám, akkor f(a)≤f(b). Legyen c olyan szám, amelyre b=a+c2. (Mivel a≤b, létezik ilyen.) Ha (1)-be x=c-t és y=f(a)-t írunk, azt kapjuk, hogy
f(b)=f(c2+a)=f(c2+f(y))=y+(f(c))2=f(a)+(f(c))2≥f(a).

Ezek után már könnyűszerrel beláthatjuk, hogy f(x)=x minden x-re. Legyen x tetszőleges. Ha f(x)<x, akkor a monotonitás miatt f(f(x))≤f(x), ami ellentmondás, mert f(f(x))=x. Ha pedig f(x)>x, akkor f(f(x))≥f(x), ami szintén ellentmondás. Tehát csak f(x)=x lehetséges.