Kezdőlap


Feladat:	1992. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kós Géza
Füzet:	1993/január, 1 - 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: 1992. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a, b, c$ paritása megegyezik. Ha ugyanis a három szám között páros és páratlan is szerepelne, akkor $(a - 1) (b - 1) (c - 1)$ páros, $a b c - 1$ pedig páratlan lenne, egy páros szám pedig nem lehet osztója egy páratlannak.
Legyen

\begin{matrix} h = \frac{a b c - 1}{(a - 1) (b - 1) (c - 1)}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a b c - 1 = h (a - 1) (b - 1) (c - 1) . \end{matrix}

(1)

Mivel,

(a b c - 1) - (a - 1) (b - 1) (c - 1) = a (b - 1) + b (c - 1) + c (a - 1) > 0,

nyilván

h > 1

; másrészt

\begin{matrix} h < \frac{a b c}{(a - 1) (b - 1) (c - 1)} = (1 + \frac{1}{a - 1}) (1 + \frac{1}{b - 1}) (1 + \frac{1}{c - 1}) \end{matrix}

(2)

Megmutatjuk, hogy

a < 4

. Ha ugyanis

a \geq 4

volna, akkor (mivel

a, b, c

, azonos paritásúak)

b \geq a + 2 \geq 6

és

c \geq b + 2 \geq 8

lenne, ezért (2) alapján

\begin{matrix} h < (1 + \frac{1}{4 - 1}) (1 + \frac{1}{6 - 1}) (1 + \frac{1}{8 - 1}) = \frac{64}{35} < 2. \end{matrix}

Ez azonban ellentmondás, mert h egész és nagyobb

1

-nél.
Ezután a feladatot két esetre bontjuk aszerint, hogy

a

értéke

2

vagy

3

.
I. Ha

a = 2

akkor

a b c - 1

páratlan, emiatt

h

sem lehet páros. Másrészt

b \geq 4

és

c \geq 6

ezért (2) alapján

\begin{matrix} h < (1 + \frac{1}{2 - 1}) (1 + \frac{1}{4 - 1}) (1 + \frac{1}{6 - 1}) = \frac{16}{5} < 4. \end{matrix}

Az egyetlen ilyen lehetséges

h

érték a 3. A feltételezett

a = 2

és a kapott

h = 3

értéket behelyettesítve (1)-be:

\begin{matrix} 2 b c - 1 = 3 (b - 1) (c - 1) . \end{matrix}

Átrendezve és szorzattá alakítva:

\begin{matrix} b c - 3 b - 3 c + 4 = 0; (b - 3) (c - 3) = 5. \end{matrix}

Mivel a bal oldalon mindkét tényező pozitív, és a második tényező a nagyobb, ez pontosan akkor teljesül, ha

b - 3 = 1

és

c - 3 = 5

, vagyis ekkor

\begin{matrix} a = 2, b = 4, c = 8. \end{matrix}

II. Ha

a = 3

, akkor

b \geq 5, c \geq 7

és

\begin{matrix} h < (1 + \frac{1}{3 - 1}) (1 + \frac{1}{5 - 1}) (1 + \frac{1}{7 - 1}) = \frac{35}{16} < 3, \end{matrix}

tehát

h = 2

. Ebben az esetben (1) a következőképpen alakul:

\begin{matrix} 3 b c - 1 = 4 (b - 1) (c - 1) . \end{matrix}

Átrendezve és szorzattá alakítva:

\begin{matrix} b c - 4 b - 4 c + 5 & = & 0; \\ (b - 4) (c - 4) & = & 11. \end{matrix}

Mivel mindkét tényező pozitív, és a második a nagyobb, ez pontosan akkor teljesül, ha

b - 4 = 1

és

c - 4 = 11

, vagyis ekkor

\begin{matrix} a = 3, b = 5, c = 15. \end{matrix}