Kezdőlap


Feladat:	1991. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Matolcsi Máté
Füzet:	1991/november, 337 - 338. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Szögfelező egyenes, Háromszögek hasonlósága, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: 1991. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ háromszög oldalai a szokásos jelöléssel $a, b,$ és $c$ .

Segédtétel: Ismert, hogy

\begin{matrix} \frac{A I}{A A'} & = \frac{b + c}{a + b + c}, \\ \frac{B I}{B B'} & = \frac{a + c}{a + b + c} és \\ \frac{C I}{C C'} & = \frac{a + b}{a + b + c} . \end{matrix}

(Ennek bizonyítása két szögfelező tétel segítségével:

B A' = \frac{a c}{b + c}

, így

\begin{matrix} \frac{A I}{I A'} = \frac{A B}{B A'} = \frac{c}{\frac{a c}{b + c}} = \frac{b + c}{a}, \end{matrix}

ahonnan valóban

\begin{matrix} \frac{A I}{A A'} = \frac{b + c}{a + b + c}) . \end{matrix}

A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget használva, és az

\frac{A I}{A A'} + \frac{B I}{B B'} + \frac{C I}{C C'} = 2

összefüggést felismerve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A I}{A A'} \cdot \frac{B I}{B B'} \cdot \frac{C I}{C C'} \leq {(\frac{\frac{A I}{A A'} + \frac{B I}{B B'} + \frac{C I}{C C'}}{3})}^{3} = \frac{8}{27}, \end{matrix}

és egyenlőség csak szabályos háromszögnél áll fenn. Másfelől az

a, b

és

c

számokra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, így

(a + b - c) (a + c - b) (b + c - a) + 4 a b c > 0

.
Ezt beszorozva és rendezve:

\begin{matrix} a^{2} b + a^{2} c + b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} b + 2 a b c > a^{3} + b^{3} + c^{3} . \end{matrix}

Mindkét oldalhoz hozzáadva

3 (a^{2} b + a^{2} c + b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} b) + 6 a b c

-t, majd szorzattá alakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 4 (a + b) (b + c) (a + c) > {(a + b + c)}^{3}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{A I \cdot B I \cdot C I}{A A' \cdot B B' \cdot C C'} = \frac{(a + b) (b + c) (a + c)}{{(a + b + c)}^{3}} > \frac{1}{4} . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítandó két egyenlőtlenséget beláttuk.