Kezdőlap


Feladat:	1990. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csirik János
Füzet:	1990/november, 343 - 344. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Komplex számok exponenciális alakja, Egységgyökök, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: 1990. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $ε$ a $995$ -ik komplex egységgyökök közül az elsőt. Tekintsük a következő 995 tagú összeget:

\begin{matrix} S & = 0 \cdot ε^{0} + 199 \cdot ε^{199} + 398 \cdot ε^{398} + 597 \cdot ε^{597} + 796 \cdot ε^{796} + & (1) \\ + 1 \cdot ε^{5} + 200 \cdot ε^{204} + 399 \cdot ε^{403} + 598 \cdot ε^{602} + 797 \cdot ε^{801} + \\ + 2 \cdot ε^{10} + 201 \cdot ε^{209} + 400 \cdot ε^{408} + 599 \cdot ε^{607} + 798 \cdot ε^{806} + \\ + ... \\ + 198 \cdot ε^{990} + 397 \cdot ε^{194} + 596 \cdot ε^{393} + 795 \cdot ε^{592} + 994 \cdot ε^{791} + \end{matrix}

(Minden tag

ε

-os szorzandója a felette levőének

ε^{5}

-szerese. Felhasználjuk, hogy

ε^{995} = 1

. Az együtthatók a

995

-ik egységgyököket megszorozzák a [0; 994] intervallum egészeivel. Az (1)-et a nem nulla

(1 - ε^{199})

-el szorozva:

\begin{matrix} (1 - ε^{199}) S = 0 \cdot ε^{0} - 0 \cdot ε^{199} + 199 \cdot ε^{199} - 199 \cdot ε^{398} + 398 \cdot ε^{398} - \cdot 394 \cdot ε^{597} + & (2) \\ + 597 \cdot ε^{597} - 597 \cdot ε^{796} + 796 \cdot ε^{796} - 796 \cdot ε^{995} + ... = \\ = - 796 \cdot ε^{0} + 199 \cdot ε^{199} + 199 \cdot ε^{398} + 199 \cdot ε^{597} + 199 \cdot ε^{796} + ... = \\ = 199 ({\underset{︸}{ε^{0} + ε^{1} + ε^{2} + ε^{3} + ... + ε^{994}}}_{S_{1}}^{}) - 995 {\underset{︸}{(ε^{0} + ε^{5} + ε^{10} + ε^{15} + ... + ε^{990})}}_{S_{2}}^{} . \end{matrix}

Mivel

S_{1} = S_{2} = 0

, ezért

(1 - ε^{199}) S = 0

, amiből

S = 0

, innen

995 (997 S_{1} + 2 S) = 0

. Így a 995-ik egységgyökök megszámozhatóak a

995 \cdot 997

995 \cdot 999

...

995 \cdot 2985

számokkal úgy, hogy minden egységgyököt a rá írt számmal megszorozva, majd az így kapott vektorokat összeadva nullvektort kapunk. A

995 (995 + 2 k)

hosszúságú vektort egy vele egyirányú

{(995 + i)}^{2}

, és egy vele ellentétes irányú

i^{2}

hosszúságú vektorral helyettesítve az összeg változatlan marad, hiszen

{(995 + k)}^{2} - k^{2} = 995 (995 + 2 k)

. Tehát az

1990

-edik egységgyököket megszámoztuk az

1^{2}

2^{2}

3^{2}

...

1990^{2}

számokkal úgy, hogy mindegyiket a ráírt számmal szorozva, majd ezeket összeadva az összeg a nullvektor lesz. Másrészt azonban ezeket a súlyozott egységgyököket növekvő argumentum szerint az ,,orr-farok'' módszerrel egymás után rakva éppen egy, a feladatban kért

1990

-szöget kapunk.