A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Rögtön észrevehetjük, hogy -nek mindig csökkentenie kell az utoljára elhangzott számot, -nak pedig növelnie (legalábbis nem csökkentenie). Az is látszik, hogy csak akkor nyerhet, ha előtte prímhatványt mondott. Mivel mindig egy típusú intervallumból választhat számot, ezért ─ úgy érezzük ─ -nek elég kevés esetben van esélye a nyerésre, feltéve persze, hogy valamilyen ésszerű stratégiával játszik. Célszerű tehát először az a) kérdéssel foglalkoznunk. Ha , akkor triviálisan nyer az számmal, ezért esetén -nak van nyerési stratégiája. Az esetben nem alkalmazhatja ezt a módszert, de ha tud olyan számot mondani, amelyre csak számmal válaszolhat, akkor ismét nyer, hiszen ekkor szerepét veszi át. Legyen például ‐ választhatja ezt a számot esetén ‐, ezzel vagy . Ezzel beláttuk, hogy esetén tud nyerni, hasonlóan fogjuk igazolni szerinti teljes indukcióval, hogy esetén ( pozitív egész) is -nak van nyerési stratégiája. -re már beláttuk az állítást, tegyük fel ezért, hogy valamilyen -re igaz az állítás, azt kell megmutatnunk, hogy esetén -nak van nyerési stratégiája. Válassza ehhez az számot, nyilván . Ezek után csak egy alakú egészet választhat, ahol prímhatvány. Erre , ami azt jelenti induktív feltevésünk szerint, hogy -nak van nyerési stratégiája, az állítás -re is fennáll. Eddigi eredményeinket összefoglalva kapjuk, hogy a esetben -nak van nyerési stratégiája. Próbáljuk meg a fennmaradó eseteket is erre az esetre visszavezetni. -nak olyan számot kell mondania, amelyre csak egy számot választhat. Tekintsük ehhez az számot ‐ választhatja ezt a esetben, mert ekkor ‐, ezzel -re | | vagyis az előzőek alapján -nak van nyerési stratégiája. Hátra van az eset vizsgálata; -nak most már elegendő olyan számot mondania, amelyre . Legyen ehhez , ezzel . Mivel a esetben is teljesül, ezért ilyenkor is -nak van nyerési stratégiája. Tovább ,,lépegetünk'' lefelé ‐ mindig ugyanazzal a redukáló szándékkal: esetén száma legyen ; nyilván , és , vagyis innen nyerni tud ‐ az eddig bizonyítottak miatt. Végül legyen ha ; ekkor és , ami azt jelenti, hogy ekkor is -nak van nyerési stratégiája. Ezzel beláttuk, hogy esetén -nak van nyerési stratégiája. Ezzel a módszerrel nem tudjuk tovább csökkenteni olyan lehetséges értékeit, amelyekből kiindulva el tudja érni a győzelmet. Azt tapasztaljuk ugyanis, hogy esetén nem tud olyan számot mondani, amelyre csak egy -cal válaszolhatna. Ez a tény azt sejteti velünk, hogy esetén legalább egy döntetlent ki tud kényszeríteni. (Valójában az előbbi észrevétel igazolja is sejtésünket, hiszen ha nem nyer, akkor még mindig ki tud kényszeríteni egy végtelen | | számsorozatot, ami azt jelenti, hogy sem nyerhet, mert nem nevezheti meg az -et. A későbbiekben azonban úgyis pontosabban megvizsgáljuk a döntetlen lehetőségeit, ezért egyelőre a sejtés elegendő számunkra.) Foglalkozzunk most a kérdéssel. Ha , akkor miatt csak prímhatványt választhat , vagyis mondhatja az számot, amivel megnyeri a játékot. Ha , akkor , , , , , , . Ha prímhatvány, akkor -gyel nyer, egyébként . Ekkor választhatja az számot, és ekkor ‐ mint az előbb igazoltuk ‐ -nek van nyerési stratégiája. ( szerepét veszi át). Ha , akkor az előbbiekhez hasonlóan el tudja érni a győzelmet, amennyiben prímhatvány, vagy . Különben pedig , , , ; és ezeket az eseteket rendre visszavezethetjük az előzőekre az , , , választással, ugyanis esetén -nek van nyerési stratégiája. Végül esetén miatt prímhatvány, vagy (amire már láttuk, hogy -nek van nyerési stratégiája), vagy pedig , , , , és ezeket az , , , , választással rendre visszavezethetjük a már megvizsgált esetre ( szerepét veszi át). Összességében tehát kimondhatjuk, hogy esetén -nek van nyerési stratégiája. Meg kell még vizsgálnunk az esetet. Mivel a -nek győzelmet jelentő kezdőértékek lehetséges értékeit nem tudjuk a szokásos módszerünkkel tovább növelni, ezért igen valószínűnek látszik, hogy esetén egyik játékos sem tudja kikényszeríteni a győzelmet. Ehhez csak azt kell igazolnunk, hogy mind , mind tud úgy játszani, hogy a másik ne nyerhessen. Legyen tehát vagy , és válassza az számot, amelyre nyilván . ezután csak -et, vagy -öt, vagy -ot választhat. Az esetben ‐ mint már láttuk ‐ -nak van nyerési stratégiája, az eset pedig szempontjából ekvivalens az kezdéssel (tehát újra jöhet , stb.) így beláttuk, hogy ha ügyesen játszik, akkor nem nyerhet. Ugyanez áll viszont -re is. Ha ugyanis vagy , akkor , és ha végignézzük a , , , számokat, azt találjuk, hogy mindig tud olyan számot mondani, amelyre . Ha , akkor a fentiek miatt nyerési stratégiája van -nek (esetleg ), ha pedig , akkor ugyanolyan helyzetet kapunk, mint amilyennel kezdtük a játékot (amikor , ). Ezzel a feladatot megoldottuk, eredményeinket a következőképpen foglalhatjuk össze: a) -nak van nyerési stratégiája, ha , b) -nek van nyerési stratégiája, ha , végül c) egyik játékos sem tudja kikényszeríteni a győzelmet, ha . |