A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. nyilván megoldás, hiszen osztható -cel. Megmutatjuk, hogy más megoldás nem létezik. Írjuk ehhez az -et alakba (, és relatív prímek). Ekkor | | (*) | Mivel minden páratlan egészre osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel, ezért (1) jobb oldalán a -tényezős szorzat 3-nak pontosan a -adik hatványával osztható. Ha most a fenti alakú szám megoldás, azaz osztója -nek, akkor a ,,hiányzó'' 3-as tényezőket az (1)-beli szorzat első tényezőjének kell tartalmaznia: ami csak a , vagy 1 esetekben lehetséges, hiszen miatt . Megmutatjuk, hogy értéke csak 1 lehet. Tegyük fel, hogy és legyen a legkisebb prímosztója , ami legalább 5, másfelől . A feltétel miatt a kis Fermat-tételből pedig következik. Így a és kongruenciákból következik, ahol . Mivel és , ezért szükségképpen , azaz (3) szerint a prímszám az , , , számok valamelyikének 3-nál nagyobb prímtényezője, ami csak úgy lehetséges, ha . Ez viszont lehetetlen, ugyanis (2) alapján ekkor , ami egyetlen pozitív egész kitevővel sem teljesül. A tehát valóban nem lehet 1-nél nagyobb. A feladat feltétele így csak azokra az számokra teljesülhet, amelyekre és . Ha , akkor , ha pedig , akkor . |