Kezdőlap


Feladat:	1989. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pataki János
Füzet:	1989/november, 353. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: 1989. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy egész szám pontosan akkor nem prímhatvány, ha van két relatív prím valódi osztója. Keressük az $n$ darab számot

\begin{matrix} {2 + M,3 + M, ..., (n + 1) + M} \end{matrix}

(1)

alakban.
Ha

i | M

2 ≦ i ≦ n + 1

esetén és

M = i \cdot m_{i}

, akkor

\begin{matrix} i + M = (1 + m_{i}) . \end{matrix}

Innen látszik, hogy ha még

i | m_{i}

is teljesül, akkor

\begin{matrix} (i,1 + m_{i}) = 1, \end{matrix}

és így minden 1-nél nagyobb

i

-re

i + M

előáll két 1-nél nagyobb relatív prím szám szorzataként, tehát nem prímhatvány.
Ha tehát

i^{2} | M

i = 2,3, ..., n + 1

, akkor az (1) alatti számok egyike sem prímhatvány; a talált feltétel pedig biztosan teljesül az

M = {[(n + 1)!]}^{2}

választással. Ezzel a bizonyítást befejeztük.