A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A következő megoldást sajnos nem a versenyen, hanem utána, este találtam. Ekkor már tudtam azt, hogy a végtelen leszállás elvével kijön a feladat. Erre a módszerre igazság szerint magamtól is gondolhattam volna, hiszen két hazai válogatóversenyen szükség volt rá. Tegyük fel, hogy a . Osszuk el -t maradékosan -val: (, egész; ). Ekkor
A feltétel szerint . Legyen a hányados , azaz | | Másrészt: A felső egyenletből az alsót kivonva: | | (1) |
Most két esetet különböztetünk meg: I. (azaz ), II. (azaz ). Mind a két esetben (1) jobb oldalát fogjuk alulról és felülről úgy megbecsülni, hogy ennek, mint többszörösének, már csak egy lehetséges értéke marad. I. eset. . (1) most így alakul: Könnyen látható, hogy: tehát Ez utóbbiakból: , azaz valóban négyzetszám. Látható az is, hogy az esetben csak a lehetséges, és az , számpár kielégíti a feltételt. II. eset. . Megmutatjuk, hogy ekkor: | | A bal oldali egyenlőtlenség abból következik, hogy , és . (Itt használjuk ki, hogy .) A jobb oldali céljára:
ezeket összegezve megkapjuk a jobb oldali egyenlőtlenséget, és így (1)-ben csak | | lehetséges. Átrendezve: | | (2) | miatt , így és is pozitív egész. Az , számokból kiindulva találtunk egy másik számpárt, -t és -et, amelyre | | és ebben az új számpárban a számok minimuma, kisebb, mint az eredeti számpárban . Ha most , akkor az I. eset szerint négyzetszám. Ha pedig , akkor a II. eset szerint tovább tudjuk csökkenteni a minimumot. Az eljárást folytatva előbb-utóbb az I. esethez kell eljutnunk, ha előbb nem, akkor, amikor a két szám minimuma lesz. Ezzel beláttuk, hogy csak négyzetszám lehet. Nézzük még meg, milyen számpárok elégítik ki a feladat feltételeit! Figyelembe véve, hogy a II. pont eljárásával előbb-utóbb minden megoldásból egy típusú megoldáshoz jutunk, az eljárást (a II. esetbelit) megfordítva kapjuk, hogy a megoldások az | | típusú sorozatok szomszédos elemeiből álló számpárok.
Bíró András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
A 6. feladat több szempotból is a legnehezebbnek bizonyult a versenyen. A magyar csapat például mindössze egyetlen pontot szerzett ezen a feladaton. Ennél talán többet mond, hogy az olimpiai bizottság tagjai közül ‐ ez a bizottság hat kiválló ausztrál matematikusból állt, és ők választották ki a részt vevő országok javaslataiból azt a 31 feladatot, amelyik a nemzetközi zsűri elé került ‐ senki sem tudta megoldani. Hosszas vita után végül kitűzték. Sokan fogadtak arra, hogy nem, vagy alig lesz jó megoldás, és majd mindenki veszített. Végül 11 (!) versenyző oldotta meg helyesen a feladatot. A szerzők mindegyike így vagy úgy a végtelen leszállás módszerével jutott el a megoldáshoz. Az alábbiakban a bolgár Emanuel Atanaszov különdíjas megoldását ismertetjük, aki talán a legelegánsabban nyúlt a problémához.
II. megoldás. Jelöljük a hányados értékét -val és rendezzük át a feltételt. Így az összefüggéshez jutunk. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, a nem négyzetszám, és tekintsük az kétismeretlenes diofantoszi egyenletet, amelynek feltételünk szerint létezik pozitív egész számokból álló megoldása. Vegyük észre, hogy (2)-nek nem lehetnek ellenkező előjelű megoldásai, hiszen ekkor a bal oldalon Olyan megoldása sincs a (2) egyenletnek, ahol az egyik szám volna, hisz ekkor a bal oldal értéke négyzetszám. (Lényegében itt használjuk fel az indirekt föltevést!) Tekintsük most a (2) egyenletnek azt a pozitív megoldását, amelyre a két szám közül a nem nagyobb ‐ legyen ez ‐ minimális. Ilyen létezik és az előbbiek szerint . A (2)-ben helyére -t helyettesítve az immár egyismeretlenes egyenletet kapjuk, amelynek tehát az megoldása. A másodfokú (3) egyenlet másik, gyökére tehát is egész. Az számpár is megoldása (2)-nek, a pozitív, így az is az. A gyökök és együtthatók közti másik összefüggésben a gyökök szorzata pozitív: , ahonnan , vagyis miatt ! Abból a feltevésből kiindulva, hogy a nem négyzetszám, találtunk a (2) egyenletre egy másik megoldást, az számpárt, ahol ellentétben az megoldásra előírt kikötésünkkel. Ez azt jelenti, hogy a valóban négyzetszám.
|