Először azt bizonyítom be, hogy a $B$ halmaz minden eleme pontosan két $A_i$-ben fordul elő. A c) feltétel szerint minden elem legalább két $A_i$-ben szerepel, ezért elegendő azt megmutatni, hogy egyik elem sem fordul elő legalább három részhalmazban.
Tegyük fel, hogy $X$ mégis eleme az $A_i$, $A_j$, $A_k$ halmazoknak, ebből ellentmondáshoz fogunk jutni. A b) feltétel szerint az $A_i$, $A_j$, $A_k$ halmazok közül semelyik kettőnek nincs az $X$-től különböző közös eleme. A három halmaz $X$-en kívüli, összesen $3\cdot \left(2n-1\right)$ eleme így mind különböző. A továbbiakban nevezzük ezeket "mókás'' elemeknek.
A c) feltétel szerint minden mókás elem előfordul legalább egyszer a további $2n-2$ halmazban. Összesen $3\cdot \left(2n-1\right)$ mókás elem van, ezért valamelyik halmazban közülük 4 fordul elő $\left(3\left(2n-2\right)-3\left(2n-1\right)\right)$. Ekkor ennek a halmaznak az $A_i$, $A_j$, $A_k$ valamelyikével legalább 2 közös eleme van, ami ellentmond a b) feltételnek. Ezzel beláttuk, hogy a $B$ halmaz minden eleme pontosan két $A_i$-ben szerepel.
Tegyük fel ezután, hogy megadtuk a megfelelő hozzárendelést a $B$ halmaz elemein. Mivel minden $A_i$-nek $n$ eleméhez rendeltünk $0$-t, ezért halmazonként leszámolva összesen a $n\left(2n+1\right)$ elemhez rendeltünk $0$-t. Láttuk másfelől, hogy minden elem pontosan két halmazban fordul elő, ezért a $B$ halmaz $\frac{n\left(2n+1\right)}{2}$ eleméhez rendeltünk $0$-t. Ez pedig csak akkor egész, ha $n$ páros, tehát szükséges feltétel, hogy $n$ páros legyen.
Be fogjuk bizonyítani, hogy ez a feltétel elégséges, ilyenkor megadható az előírt hozzárendelés. Írjuk fel egy szabályos $\left(2n+1\right)$-szög csúcsaira az $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}2n+1$ számokat. Húzzuk be azokat az átlókat, melyek két olyan csúcsot kötnek össze, melyek között legfeljebb $\frac{n}{2}-1$ csúcs van. (Ez egész, mivel $n$ páros.) Így minden csúcsból $n$ átlót húztunk be.
Jelöljük $A_i$ és $A_j$ közös elemét $\left(i\mathrm{,}j\right)$-vel $\left(i<j\right)$. Ez egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, mivel minden elem pontosan két halmazban szerepel, és b) fennáll.
$\left(i\mathrm{,}j\right)$-hez pontosan akkor rendeljünk $0$-t, ha az $i$ és $j$ csúcs közötti átlót behúztuk. Mivel minden csúcsból $n$ átló indul, ezért ez egy megfelelő hozzárendelés.
Tehát akkor és csak akkor végezhető el megfelelő hozzárendelés, ha az $n$ páros.