Kezdőlap


Feladat:	1986. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóna Miklós
Füzet:	1986/november, 358 - 359. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/szeptember: 1986. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

5. feladat. Határozzuk meg az összes olyan $f$ függvényt, amely a nem-negatív valós számok $R_{0}^{+}$ halmazán van értelmezve, csak nem-negatív valós értéket vesz fel és teljesíti a következő három feltételt:

\begin{matrix} (a) f (x \cdot f (y)) \cdot f (y) = f (x + y) minden x, y \in R_{0}^{+} esetén; \\ (b) f (2) = 0; \\ (c) f (x) \neq 0, ha 0 \leq x < 2. \end{matrix}

Megoldás. Először két egyszerű megállapítást teszünk. Egyrészt

f (0) = 1

, hiszen az (a) feltételt

x = y = 0

esetén alkalmazva

f (0) = f (0 \cdot f (0)) \cdot f (0) = f {(0)}^{2}

, tehát

f (0)

értéke csak 0 vagy 1 lehet, de az első lehetőséget a (c) feltétel kizárja. Másrészt

x \geq 2

esetén

f (x) = 0

adódik könnyen, ha az (a) feltételbe

x - 2

és 2 értékeket írunk:

f (x) = f ((x - 2) \cdot f (2)) \cdot f (2) = 0

a (b) feltétel miatt.
Tegyük fel most, hogy

0 < x < 2

, ekkor persze

0 < 2 - x < 2

is teljesül és így az (a) feltételt alkalmazva a

2 - x

és

x

számokra

f ((2 - x) \cdot f (x)) \cdot f (x) = f (2) = O

adódik. Itt (c) miatt

f (x) \neq 0

((2 - x) \cdot f (x)) = 0

, tehát ismét csak (c)-t alkalmazva a

(2 - x) \cdot f (x) \geq 2

f (x) \geq \frac{2}{2 - x}

egyenlőtlenséget kapjuk. A továbbiakban belátjuk, hogy itt egyenlőség áll. Tegyük fel ugyanis, hogy valamely

0 < y < 2

esetén

f (y) > \frac{2}{2 - y}

, vagyis

f (y) = \frac{2}{2 - y} + d

, ahol

d

pozitív. Ekkor található olyan

x

pozitív szám, melyre

\frac{2}{f (y)} = \frac{2}{\frac{2}{2 - y} + d} < x < 2 - y

. Erre az

x

y

párra

x + y < 2

, tehát

f (x + y) > 0

; valamint

x \cdot f (y) > 2

f (x \cdot f (y)) = 0

áll fenn. Így az (a) feltétel nem teljesül rájuk, és ez az ellentmondás mutatja, hogy valóban minden

0 < y < 2

esetén

f (y) = \frac{2}{2 - y}

. Az eddigiek során tehát megállapítottuk, hogy a feladat feltételeinek csak a következő függvény tehet eleget:

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} \frac{2}{2 - x}, ha 0 \leq x < 2, \\ 0, ha x \geq 2. \end{matrix} \end{matrix}

Most már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy ez a függvény valóban megfelel-e a követelményeknek. Ezt azonban az olvasóra bízzuk, könnyen látható, hogy ez a függvény jó.