Kezdőlap


Feladat:	1986. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benczúr András
Füzet:	1986/november, 355 - 356. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/szeptember: 1986. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Feladat. Legyen $d$ $2$ -től, $5$ -től és $13$ -tól különböző pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a ${2, 5, 13, d}$ halmaznak van két különböző $a$ , $b$ eleme, amelyre $a b - 1$ nem négyzetszám.

Megoldás. Elegendő belátni a következő állítást: ha

d

pozitív egész szám, akkor a

2 d - 1

5 d - 1

és

13 d - 1

számok közül valamelyik nem négyzetszám. Tegyük fel ugyanis ennek ellenkezőjét, vagyis hogy alkalmas

a

b

c

pozitív egész számokkal

\begin{matrix} 2 d - 1 & = a^{2} & (1) \\ 5 d - 1 & = b^{2} & (2) \\ 13 d - 1 & = c^{2} . & (3) \end{matrix}

(1)-ből leolvasható, hogy

a

páratlan. Ekkor

a^{2}

4-gyel osztva 1-maradékot ad, és így

d

is páratlan. Most (2)-t és (3)-at tekintve adódik, hogy

b

és

c

páros. Vonjuk le (3)-ból (2)-t:

\begin{matrix} 8 d = c^{2} - b^{2}, & (4) \\ 2 d = \frac{c + b}{2} \cdot \frac{c - b}{2} . & (5) \end{matrix}

b

és

c

közül egyik 4-gyel osztható, másik pedig 2 maradékot ad 4-gyel osztva akkor (5) jobb oldalának mindkét tényezője páratlan, ez tehát nem lehet. Ha viszont

b

és

c

4-gyel osztva ugyanazt a maradékot adja, akkor (5) mindkét tényezője páros, amiből

d

páros volta következik. Ez az ellentmondás igazolja állításunkat.