A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az a feltétel, hogy a háromszög nem egyenlő szárú, biztosítja, hogy a kérdéses egyenesek léteznek és különbözők. Tükrözzük a háromszög oldalegyenesét az csúcsból induló belső szögfelezőre. A kapott egyenes érinti a beírt kört, mégpedig pont tükörképében, azaz -ben, továbbá érinti a háromszög -hez hozzáírt körét is (1. ábra).
1. ábra Tekintsük az középpontú, sugarú körre vonatkozó inverziót. Ez az inverzió helyben hagyja a és köröket, hiszen mindkettő merőleges az inverzió alapkörére: a , illetve metszéspontokból a középpontokba mutató sugarak merőlegesek egymásra. Állítjuk, hogy a egyenes inverze éppen a háromszög Feuerbach-köre. Ebből a feladat állítása következik. Mivel érinti -t és -et is, azért inverze érinti -nak, valamint -nek inverzét, következésképp egy háromszög Feuerbach-köre érinti a háromszög beírt körét, továbbá a három hozzáírt kört is. A beírt kör és a Feuerbach-kör érintési pontja inverz képe annak a pontnak, ahol és érinti egymást, vagyis az pontnak, és így rajta van az egyenesen. Ugyanez az érintési pont rajta van az , egyeneseken is, s így ,, valóban egy ponton mennek át, ahogyan a feladat állította. Annak igazolása maradt még hátra, hogy inverz képe a háromszög Feuerbach-köre. Mivel nem megy át az inverzió középpontján, -en ( miatt), inverze egy -en átmenő kör. S mivel az háromszög Feuerbach-köre az középháromszög körülírt köre, elegendő megmutatnunk, hogy és is rajta van inverz képén, azaz ahol , ill. az , ill. félegyenesnek és a -nek metszéspontjai (2. ábra). Mivel és , azért | | az -ből induló belső szögfelezőnek és -nek a metszéspontja, tehát
2. ábra Végül a és hasonló háromszögekből | | vagyis | | A és hasonló háromszögekből pedig | | vagyis | |
Ezzel a feladat állítását beláttuk, s azt is, hogy ez a közös pont éppen a beírt kör és a Feuerbach-kör érintési pontja.
|