A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a , ill. körök középpontját -gyel, ill. -vel, a két kör -tól különböző metszéspontja legyen . Először megmutatjuk, hogy a , , pontok a mozgás bármely pillanatában egy egyenesen vannak. Ehhez figyeljük meg a következőket: ha az , , hasonló, és egyező körüljárású háromszögeknél a , , , pontok egy egyenesen vannak, akkor a , , , pontok is egy egyenesen fekszenek. Ez egyszerűen következik abból, hogy a , , , pontokat az középpontú, szögű és arányú forgatvanyújtás viszi át rendre a , , , pontokba, és a forgatvanyújtás egyenestartó. Ez igaz abban az esetben is, ha a hasonló háromszögek helyett egy egyenesbe eső hasonló ponthármasokat mondunk.
1. ábra
A feladat feltétele szerint a , pontok a körök középpontjai körül állandó szögsebességgel forognak. Tegyük fel, hogy pl. a kiindulási helyzettől szöggel fordultak el (1. ábra). Az , egyező körüljárású, hasonló, egyenlő szárú (esetleg elfajult) háromszögek. Mivel az egyenes az szakasz felező merőlegese, szerkeszthetünk rajta olyan pontot, hogy az és háromszögek hasonlóak és egyező körüljárásúak legyenek. Előző megjegyzésünk értelmében így a , , pontok valóban egy egyenesen vannak, mivel , , is egy egyenesen fekszenek. Elegendő most már azt bizonyítanunk, hogy a szakasz felező merőlegese ‐ a szakasz elhelyezkedésétől függetlenül ‐ átmegy egy rögzített ponton. Messe az -re -ban állított merőleges a , ill. kört -ben, ill. -ban, és legyen felezőpontja (2. ábra).
2. ábra
A és szakaszok Thalész tétele szerint köreikben átmérők, ezért az és derékszög, az négyszög tehát derékszögű trapéz (hurkolt is lehet, és derékszögű háromszöggé is fajulhat). Következésképpen a szár felező merőlegese átmegy a rögzített szár felezési pontján; ezzel állításunkat igazoltuk.
|